Giải VBT Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
I. Kiến thức trọng tâm
Câu 1 trang 105 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:
Trong tam giác ABC (Hình 74), đoạn thẳng AM nối……………với…………..của cạnh BC được goi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC)
Lời giải:
Trong tam giác ABC (Hình 74), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm của cạnh BC được goi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).
Câu 2 trang 105 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:
– Ba đường trung tuyến cùng đi qua ………….. Điểm đó được gọi là …………của tam giác
– Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ………. độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
– Trọng tâm của tam giác ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm (Hình 75) ta có:
, .
Lời giải:
– Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác
– Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
– Trọng tâm của tam giác ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm (Hình 75) ta có:
, .
II. Luyện tập
Câu 1 trang 106 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 76 đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác nào?
Lời giải:
– Đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác HBC vì H là một đỉnh của tam giác HBC và K là trung điểm của cạnh BC.
– Đoạn thẳng HK cũng là đường trung tuyến của tam giác AKC vì K là một đỉnh của tam giác AKC và H là trung điểm của cạnh AC.
Câu 2 trang 106 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.
Lời giải:
Hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR. Suy ra điểm G thuộc đường trung tuyến PI của tam giác PQR. Vậy ba điểm P, G, I thẳng hàng.
III. Bài tập
Câu 1 trang 106 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh GA + GB + GC = (AM + BN + CP)
Lời giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA = AM, GB = BN, GC = CP.
Suy ra GA + GB + GC = AM + BN + PC = (AM + BN + CP).
Vậy GA + GB + GC = (AM + BN + CP).
Câu 2 trang 107 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN;
b) ∆GBC cân tại G.
Lời giải:
a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên AM = AC, AN = AB.
Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, suy ra AM = AN.
Xét hai tam giác ABM và ACN, ta có:
AB = AC, là góc chung, AM = AN (chứng minh trên).
Suy ra ∆ABM = ∆ACN (c.g.c)
Do đó BM = CN (hai cạnh tương ứng).
b) Vì G là trọng tâm và BM, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên GB = BM, GC = CN. Mà BM = CN (chứng minh trên), suy ra GB = GC
Do đó ∆GBC cân tại G
Câu 3 trang 107 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:
a) GA = GD;
b) ∆MBG = ∆MCD;
c) CD = 2GN.
Lời giải:
a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên GA = 2MG.
Do M nằm giữa G và D và MD = MG nên GD = 2MG.
Từ đó suy ra GA = GD.
b) Xét hai tam giác MBG và MCD, ta có:
MB = MC (giả thiết);
= (hai góc đối đỉnh);
MG = MD (giả thiết).
Suy ra ∆MBG = ∆MCD (c.g.c).
c) Vì ∆MBG = ∆MCD nên BG = CD (hai cạnh tương ứng).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên BG = 2GN.
Từ đó suy ra CD = 2GN.
Câu 4 trang 108 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:
a) ∆AHB = ∆AHM;
b) AG = AB.
Lời giải:
a) Xét hai tam giác vuông AHB và AHM, ta có:
AH là cạnh chung;
HB = HM (giả thiết);
Suy ra ∆AHB = ∆AHM (hai cạnh góc vuông).
b) Vì ∆AHB = ∆AHM nên AB = AM (1)
Vì hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra AG = AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AG = AB.
Câu 5 trang 108 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Hình 81 là mặt cắt đứng một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.
a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?
b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.
Lời giải:
a) Ta có AB = AC (tính chất tam giác cân), suy ra điểm A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
HB = HC (giả thiết), suy ra điểm H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Vậy AH ⊥ BC.
b) Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên HO = AH = 0,4 m
Điểm O ở độ cao so với mặt đất là 3.3,3 + 0,4 = 10,3 m