Sách bài tập Toán 7 Bài 8 (Cánh diều): Đường vuông góc và đường xiên

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Giải SBT Toán 7 trang 85 Tập 2

Bài 52 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B ≠ O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng Oy trong các trường hợp sau:

a) $\hat{x O y}$ là góc nhọn;

b) $\hat{x O y}$ là góc vuông;

c) $\hat{x O y}$ là góc tù.

Lời giải:

a) $\hat{x O y}$ là góc nhọn

Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B khác O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B

b) $\hat{x O y}$ là góc vuông

Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B khác O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B

c) $\hat{x O y}$ là góc tù

Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B khác O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B

Bài 53 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:

a) BH = CH;

b) MB = MC;

c) MA < AC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ∆AHB và ∆AHC có:

$\hat{A H B} = \hat{A H C} (= 90 °)$ ,

BA = AC (chứng minh trên),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

Vậy BH = CH.

b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)

Suy ra $\hat{H A B} = \hat{H A C}$ (hai góc tương ứng).

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

BA = AC (chứng minh câu a),

$\hat{M A B} = \hat{M A C}$ (do $\hat{H A B} = \hat{H A C}$ ),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).

Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CM.

c) Vì $\hat{A M C}$ là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M

Nên $\hat{A M C} = \hat{M H C} + \hat{M C H}$

Mà $\hat{M H C} = 90 °$ nên $\hat{A M C}$ là góc tù

Xét tam giác AMC có $\hat{A M C}$ là góc tù

Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).

Vậy MC < AC.

Bài 54 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, vẽ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC tùy ý (Hình 40).

Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, vẽ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC

a) So sánh độ dài AH và AB, AH và AC.

b) Chứng minh: Nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.

Lời giải:

a) Ta có AH và AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Suy ra AH < AB.

Tương tự, AH và AC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Suy ra AH < AC.

Vậy AH < AB và AH < AC.

b) • Nếu AB = AC.

Xét ∆AHB và ∆AHC có:

$\hat{A H B} = \hat{A H C} (= 90 °)$ ,

AB = AC (giả thiết),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

• Nếu BH = CH

Xét ∆AHB và ∆AHC có:

$\hat{A H B} = \hat{A H C} (= 90 °)$ ,

BH = CH (giả thiết),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.

Bài 55 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC.

a) Vẽ E là hình chiếu của A trên đường thẳng BM.

b) Vẽ F là hình chiếu của C trên đường thẳng BM.

c) Chứng minh BE + BF > 2AB.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Vẽ E là hình chiếu của A trên đường thẳng BM

c) Xét ∆MAE và ∆MCF có:

$\hat{A E M} = \hat{C F M} (= 90 °)$ ,

MA = MC (vì M là trung điểm của AC),

$\hat{A M E} = \hat{C M F}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).

Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC

Suy ra AB < BM.

Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:

AB + AB < BE + EM + BF – MF

Mà ME = MF

Do đó 2AB < BE + BF.

Vậy BE + BF > 2AB.

Bài 56 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:

a) $\hat{A B M} = \hat{C A N}$ ;

b) CN = MA;

c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là

a) Xét ∆MAB vuông tại M có: $\hat{A B M} + \hat{M A B} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Ta có $\hat{M A B} + \hat{B A C} + \hat{C A N} = 180 °$

Suy ra $\hat{M A B} + \hat{C A N} = 180 ° - \hat{B A C} = 90 °$

Lại có $\hat{A B M} + \hat{M A B} = 90 °$

Suy ra $\hat{A B M} = \hat{C A N}$ .

Vậy $\hat{A B M} = \hat{C A N}$ .

b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:

$\hat{B M A} = \hat{A N C} (= 90 °)$ ,

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

$\hat{A B M} = \hat{C A N}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A C B} = \hat{A B C}$

Lại có $\hat{A C B} + \hat{A B C} + \hat{B A C} = 180 °$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\hat{A C B} = \hat{A B C} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$ .

• Nếu a // BC thì $\hat{M A B} = \hat{A B C}$ (hai góc so le trong).

Do đó $\hat{M A B} = 45 °$ .

Xét ∆ABM có $\hat{A M B} + \hat{M B A} + \hat{M A B} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{M B A} = 180 ° - \hat{A M B} - \hat{M A B} = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °$ .

Do đó $\hat{M A B} = \hat{M B A}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có $\hat{A M B} = 90 °$ và $\hat{M A B} = \hat{M B A}$ nên ∆AMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì $\hat{C A N} = \hat{A C B} = 45 °$ (hai góc so le trong)

Xét ∆ABM có $\hat{A C N} + \hat{A N C} + \hat{C A N} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{A C N} = 180 ° - \hat{A N C} - \hat{C A N} = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °$ .

Do đó $\hat{A C N} = \hat{C A N}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có $\hat{A N C} = 90 °$ và $\hat{A C N} = \hat{C A N}$ nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.

Giải SBT Toán 7 trang 86 Tập 2

Bài 57 trang 86 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D

Kẻ DH ⊥ BC.

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ${\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$ .

Xét ∆DAB và ∆DHB có:

$\hat{B A D} = \hat{B H D} (= 90 °)$ ,

BD là cạnh chung,

${\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng) (1)

Vì ∆DHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.

Vậy AD < DC.

Bài 58 trang 86 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), BD là tia phân giác của góc ABC (D ∈ AC). Qua C kẻ tia Cx vuông góc với AC cắt BD tại M.

a) Chứng minh tam giác CBM là tam giác cân.

b) So sánh độ dài CM và AC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC)

a) Vì ∆ABD vuông tại A nên ${\hat{B}}_{1} + {\hat{D}}_{1} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o)

Mà ${\hat{B}}_{1} = {\hat{B}}_{2}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC) và ${\hat{D}}_{1} = {\hat{D}}_{2}$ (hai góc đối đỉnh).

Nên ${\hat{B}}_{2} + {\hat{D}}_{2} = 90 °$

Vì ∆CDM vuông tại C nên $\hat{M} + {\hat{D}}_{2} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Suy ra $\hat{M} = {\hat{B}}_{2}$

Do đó tam giác CBM cân tại C.

Vậy tam giác CBM cân tại C.

b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)

Nên CM = BC.

Vì ∆ABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra CM > AC.

Vậy CM > AC.

Bài 59 trang 86 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{B}$ và $\hat{C}$ nhọn. H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên Ax (Hình 41).

Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhọn. H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên Ax

Chứng minh:

a) BH + CK ≤ BC.

b) Nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.

Lời giải:

a) Vì ∆BHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Vì ∆CKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.

Vậy BH + CK ≤ BC.

b) Ta có BH + CK ≤ BC (theo câu a).

Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC

Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.

Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE

Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax

Hay BC ⊥ Ax.

Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 7 : Tam giác cân

SBT Toán 7 Bài 8 : Đường vuông góc và đường xiên

SBT Toán 7 Bài 9 : Đường trung trực của một đoạn thẳng

SBT Toán 7 Bài 10 : Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

SBT Toán 7 Bài 11 : Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy