Sách bài tập Toán 7 Bài 7 (Chân trời sáng tạo): Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải trang 60 Tập 2

Bài 1 trang 60 Tập 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh:

a) S_AMB = S_AMC;

b) S_ABG = 2S_BMG;

c) S_GAB = S_GBC = S_GAC.

Lời giải:

a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.

Ta có : ${\text{S}}_{\text{AMB}}=\frac{1}{2}.\text{AH.BM}$ và ${\text{S}}_{\text{AMC}}=\frac{1}{2}.\text{AH.MC}$

Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và có cạnh đáy bằng nhau.

Suy ra S_AMB = S_AMC.

Vậy S_AMB = S_AMC.

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABM.

Ta có: ${\text{S}}_{\text{ABG}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AG}$ và ${\text{S}}_{\text{BMG}}=\frac{1}{2}.\text{BK.GM}$

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$ hay AG = 2GM.

Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và có cạnh đáy AG = 2GM.

Suy ra S_ABG = 2S_BMG.

Vậy S_ABG = 2S_BMG.

c) Ta có: S_AMB = S_AMC (chứng minh câu a) và S_AMB + S_AMC = S_ABC

Nên ${\text{S}}_{\text{AMB}}={\text{S}}_{\text{AMC}}=\frac{1}{2}{\text{S}}_{\text{ACB}}$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Lại có: ${\text{S}}_{\text{GAB}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AG}$ và ${\text{S}}_{\text{AMB}}=\frac{1}{2}.\text{BK.AM}$

Suy ra

$S_{GAB}=\frac{1}{2}.\text{BK.}\frac{2}{3}\text{AM}=\frac{2}{3}{S}_{ABM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Chứng minh tương tự ta có $S_{GAC}=\frac{2}{3}{S}_{ACM}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Ta có S_GAB + S_GAC + S_GBC = S_ABC

Mà $S_{ABG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$; $S_{ACG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Suy ra $S_{BCG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Do đó $S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GAC}\left(=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\right)$

Vậy S_GAB = S_GBC = S_GAC.

Bài 2 trang 60 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác góc A. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải:

Vẽ đường cao MH của tam giác AMB và vẽ đường cao MK của tam giác AMC.

• Xét ∆AMH và ∆AMK có:

$\widehat{AHM}=\widehat{AKM}\left(=90°\right)$,

AM là cạnh chung,

$\widehat{HAM}=\widehat{K\text{A}M}$ (vì AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$).

Do đó ∆AMH = ∆AMK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BMH và ∆CMK có:

$\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\left(=90°\right)$,

MH = MK (chứng minh trên),

BM = CM (vì AM là trung tuyến của tam giác ABC).

Do đó ∆BMH = ∆CMK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{B}=\hat{C}$ (hai góc tương ứng).

Xét tam giác ABC có $\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy ABC là tam giác cân tại A.

Bài 3 trang 60 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G

a) Biết AM = 12 cm, tính AG.

b) Biết GN = 3 cm, tính CN.

c) Tìm x biết AG = 3x – 4, GM = x.

Lời giải:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Mà AM = 12 cm nên AG = $\frac{2}{3}$.12 = 8 (cm).

Vậy AM = 8 cm.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GN}{CN}=\frac{1}{3}$ hay CN =3GN.

Mà GN = 3 cm nên CN =3. 3 = 9 (cm).

Vậy CN = 9 cm.

c) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$ hay AG =2GM.

Mà AG = 3x – 4, GM = x.

Nên 3x – 4 = 2x

Hay 3x – 2x = 4

Suy ra x = 4 (cm).

Vậy x = 4 cm.

Bài 4 trang 60 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

$GA+GB+GC=\frac{2}{3}\left(AM+BN+CP\right)$.

Lời giải:

Vì DABC có ba trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên G là trọng tâm DABC, do đó ta có:

$GA=\frac{2}{3}AM,GB=\frac{2}{3}BN,GC=\frac{2}{3}CP$.

Suy ra

$GA+GB+GC=\frac{2}{3}AM+\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CP=\frac{2}{3}\left(AM+BN+CP\right)$.

Vậy $GA+GB+GC=\frac{2}{3}\left(AM+BN+CP\right)$.

Bài 5 trang 60 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Cho biết HB = HM. Chứng minh:

a) ∆ABH = ∆AMH;

b) $AG=\frac{2}{3}AB$.

Lời giải:

a) Xét ∆ABH và ∆AMH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHM}\left(=90°\right)$,

Cạnh AH là cạnh chung,

HB = HM (giả thiết).

Do đó ΔABH = ΔAMH (c.g.c).

Vậy ΔABH = ΔAMH.

b) Vì ∆ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AM$.

Mặt khác ΔABH = ΔAMH (câu a) nên ta có AB = AM (hai cạnh tương ứng).

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AB$.

Vậy $AG=\frac{2}{3}AB$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài tập cuối chương 8