Sách bài tập Toán 7 Bài 2 (Cánh diều): Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

Giải SBT Toán 7 trang 70 Tập 2

Bài 12 trang 70 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}=3\hat{B}=6\hat{C}$ .

a) Tìm số đo góc lớn nhất, góc bé nhất của tam giác ABC.

b) Kẻ AD vuông góc với BC tại D. Chứng minh AD < BD.

Lời giải:

a) Từ $\hat{A}=3\hat{B}=6\hat{C}$ suy ra: $\frac{\hat{A}}{6}=\frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{1}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{\hat{A}}{6}=\frac{\hat{B}}{2}=\frac{\hat{C}}{1}=\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}}{6+2+1}=\frac{180°}{9}=20°$.

Suy ra

• $\hat{A}=20°.6=120°;$

• $\hat{B}=20°.2=40°;$

• $\hat{C}=20°.1=20°.$

Vậy trong tam giác ABC, số đo góc lớn nhất là $\hat{A}=120°$ , số đo góc bé nhất là $\hat{C}=20°$ .

b) Xét ∆ABD vuông tại D ta có:

${\hat{A}}_1+\hat{B}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\hat{B}=40°$ (câu a)

Suy ra ${\hat{A}}_1=90°-\hat{B}=90°-40°=50°$ .

Trong ∆ADB có: ${\hat{A}}_1>\hat{B}$ (do 50° > 40°).

Suy ra BD > AD (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AD < BD.

Bài 13 trang 70 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AC lấy điểm D và E (D nằm giữa A và E). Chứng minh BA < BD < BE < BC.

Lời giải:

• Xét tam giác ABD có $\hat{A}$ là góc tù.

Nên BA < BD (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (1)

•Vì $\widehat{BDE}$là góc ngoài của tam giác ADB tại đỉnh D nên $\widehat{BDE}=\hat{A}+\widehat{ABD}$ .

Mà $\hat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BDE}$ là góc tù.

Xét tam giác EBD có $\widehat{BDE}$ là góc tù .

Nên BD < BE (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (2)

•Vì $\widehat{BEC}$là góc ngoài của tam giác AEB tại đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\hat{A}+\widehat{ABE}$

Mà $\hat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét tam giác EBC có $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Nên BE < BC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BA < BD < BE < BC.

Vậy BA < BD < BE < BC.

Bài 14 trang 70 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

a) Cho tam giác ABC có AB = 15 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài cạnh AC, biết độ dài của nó (theo đơn vị xăng-ti-mét) là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4.

b) Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính độ dài cạnh lớn nhất, biết tổng độ dài hai cạnh là 20 cm.

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay 15 – 8 < AC < 15 + 8

Suy ra 7 < AC < 23.

Độ dài cạnh AC là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4 tức là AC > 4² = 16 và AC là số nguyên tố.

Do đó AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

Vậy AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

b) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác MNP là m, n, p với 0 < m ≤ n ≤ p.

Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}$.

Mặt khác tổng độ dài hai cạnh là 20 cm nên m + n = 20 (cm).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}=\frac{m+n}{2+3}=\frac{20}{5}=4$.

Suy ra p = 4 . 4 = 16 (cm).

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác MNP là 16 cm.

Giải SBT Toán 7 trang 71 Tập 2

Bài 15 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ (D ∈ BC). Chứng minh $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$ .

Lời giải:

Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)

Suy ra $\hat{C}<\hat{B}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ .

Xét ∆ABD có: ${\hat{A}}_1+\hat{B}+\widehat{ADB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{ADB}=180°-{\hat{A}}_1-\hat{B}$ (1)

Xét ∆ACD có: ${\hat{A}}_2+\hat{C}+\widehat{ADC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-{\hat{A}}_2-\hat{C}$ (2)

Mà ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$ (chứng minh trên) và $\hat{B}>\hat{C}$ (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

Vậy $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$.

Bài 16 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}=110°$ và $\hat{B}=\hat{C}$ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho $\widehat{ADC}=105°$ . Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:

a) AE < CE;

b) EC < BC < BE.

Lời giải:

•Xét ∆ACB có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\hat{B}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BAC}=110°,$ $\hat{B}=\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Suy ra $\hat{B}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-110°}{2}=35°$ .

•Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CAE}=180°-\widehat{BAC}=180°-110°=70°$ .

• Do AD // EC (giả thiết) nên $\widehat{ADC}+\widehat{ECD}={180}^o$ (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{ECD}={180}^o-\widehat{ADC}={180}^o-{105}^o={75}^o.$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=\widehat{ECD}$ (hai góc kề nhau)

Do đó $\widehat{ACE}=\widehat{ECD}-\widehat{ACB}=75°-{35}^o=40°.$

• Trong ∆ACE có: $\widehat{ACE}<\widehat{CAE}$ (do 40° < 70°)

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét ∆EBC có: $\hat{E}+\widehat{BCE}+\hat{B}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BCE}=75°,\hat{B}=35°$

Suy ra $\hat{E}=180°-\hat{B}-\widehat{BCE}=180°-35°-75°=70°$

Trong tam giác BCE có: $\hat{B}<\hat{E}<\widehat{BCE}$ (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.

Bài 17 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Lời giải:

Xét ∆ABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét ∆ACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB +AC +BC

Suy ra: $AD<\frac{AB+AC+BC}{2}$

Mà $\frac{AB+AC+BC}{2}$ là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Bài 18 trang 71 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Lời giải:

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.

Suy ra a + a < a + b + c.

Hay $a<\frac{a+b+c}{2}$ (1)

Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.

Hay 3a ≥ a + b + c.

Do đó $a\ge \frac{a+b+c}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{a+b+c}{3}\le a<\frac{a+b+c}{2}$ .

Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.

Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 1 : Tổng các góc của một tam giác

SBT Toán 7 Bài 2 : Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

SBT Toán 7 Bài 3 : Hai tam giác bằng nhau

SBT Toán 7 Bài 4 : Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh

SBT Toán 7 Bài 5 : Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh