Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ nghịch (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Khái niệm:

Cho a là một hằng số khác 0. Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=\frac{a}{x}$ hay xy = a thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Ví dụ:

+ Nếu x.y = 2 thì ta nói x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 2.

+ $v=\frac{300}{t}$ nên ta nói v tỉ lệ nghịch với t theo hệ số tỉ lệ là 300.

Chú ý: Khi y tỉ lệ nghịch với x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ:Nếu x.y = 7 ta có x tỉ lệ nghịch với y với hệ số tỉ lệ là 7 và y cũng tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ là 7.

Khi đó, ta nói x và y tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ là 7.

2. Tính chất của các đại lượng tỉ lệ nghịch:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:

– Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ):

x₁y₁ = x₂y₂ = x₃y₃ = … hay $\frac{x_1}{\frac{1}{y_1}}=\frac{x_2}{\frac{1}{y_2}}=\frac{x_3}{\frac{1}{y_3}}=\mathrm{\dots }$

– Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{y_1}$; $\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_3}{y_1}$ ; …

Ví dụ: Cho bảng sau. Trong đó x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

x	x1 = 4	x2 = 8	x3 = 1	x4 = 2
y	y1 = 4	y2 = 2	y3 = 16	y4 = 8

Khi đó ta có:

+) x₁.y₁ = x₂.y₂ = x₃.y₃ = x₄.y₄ = 16.

+) $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}=2$ ; $\frac{x_2}{x_3}=\frac{y_3}{y_2}=8$ ; …

Bài tập Đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài 1. Cho biết hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau và khi a = −4 thì b = 5.

a) Tìm hệ số tỉ lệ;

b) Hãy biểu diễn a theo b;

c) Tính giá trị của a khi b = 10;

d) Tính giá trị của b khi a = −5.

Hướng dẫn giải:

a) Do a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: hệ số tỉ lệ là:

a.b = (−4).5 = −20.

Vậy hệ số tỉ lệ của hai đại lượng tỉ lệ nghịch a và b là −20.

b) Theo câu a ta có a.b = −20. Suy ra $a=\frac{-20}{b}$ .

Vậy biểu diễn của a theo b là: $a=\frac{-20}{b}$ .

c) Từ câu b, ta có: $a=\frac{-20}{b}$ .

Khi b = 10 thì $a=\frac{-20}{10}=-2$ .

Vậy a = 2 khi b = 10.

d) Theo câu a ta có: a.b = −20 suy ra $b=\frac{-20}{a}$ .

Khi a = −5 thì $b=\frac{-20}{a}=\frac{-20}{-5}=4$ .

Vậy khi a = −5 thì b = 4.

Bài 2.

a) Dựa vào bảng giá trị tương ứng của a và b trong mỗi trường hợp sau, hãy cho biết hai đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau hay không.

a	5	6	3	−3
b	6	5	10	−10

b) Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau:

x	7	?	2
y	4	−7	?

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy: 5.6 = 6.5 = 3.10 = (−3).(−10) =30.

Nên suy ra hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có hệ số tỉ lệ là:

x.y =7.4 = 28

Suy ra x.y = 28.

Khi đó:

Nếu y = −7 thì $x=\frac{28}{y}=\frac{28}{-7}=-4$ ;

Nếu x = 2 thì $y=\frac{28}{x}=\frac{28}{2}=14$ .

Vậy ta có bảng giá trị bảng giá trị của x và y là:

x	7	−4	2
y	4	−7	14

Bài 3. Bác Hoàng muốn lát một sân gạch hình chữ nhật có diện tích là 28 m². Gọi e (m), f (m) lần lượt là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật này. Hãy chứng tỏ e và f là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Tính e khi f = 4 m.

Hướng dẫn giải:

Diện tích của sân gạch hình chữ nhật là: e.f = 28 (m²).

Ta thấy e.f = 28 luôn không đổi.

Vậy suy ra e và f là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Suy ra khi f = 4 m thì $e=\frac{28}{f}=\frac{28}{4}=7$ (m)

Vậy khi hình chữ nhật có một cạnh f = 4 m thì cạnh còn lại của hình chữ nhật này là: e = 7 m.

Bài 4. Cho biết một đội công nhân (năng suất làm việc như nhau) dự kiến làm xong một công trình trong vòng 156 ngày. Hỏi nếu chuyển $\frac{1}{4}$ số công nhân sang công trình khác thì số công nhân còn lại sẽ làm xong công trình này trong bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải:

Số công nhân còn lại khi chuyển đi $\frac{1}{4}$ số công nhân ban đầu là $\frac{3}{4}$ số công nhân ban đầu.

Gọi a₁, a₂ (công nhân) lần lượt là số lượng công nhân có trong đội trước và sau đi chuyển đi (a₁, a₂ $\in$ ℕ*).

Gọi b₁, b₂ (ngày) lần lượt là số ngày hoàn thành công trình tương ứng trong hai trường hợp trên (b₁, b₂ $\in$ ℕ*).

Do đó số công nhân và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (vì số lượng công việc để hoàn thành công việc là không đổi) nên ta có:

a₁b₁ = a₂b₂ suy ra $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_2}{b_1}$ .

Mặt khác ta có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{3}$ và b₁ =156 nên ta có:

$\frac{4}{3}=\frac{b_2}{156}$ suy ra $b_2=\frac{156.4}{3}=208$ (thỏa mãn)

Vậy số công nhân còn lại sẽ hoàn thành công trình trong 208 ngày.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Đại lượng tỉ lệ thuận 

Lý thuyết Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Lý thuyết Toán 6 Chương 6: Các đại lượng tỉ lệ

Lý thuyết Bài 1: Biểu thức số, biểu thức đại số

Lý thuyết Bài 2: Đa thức một biến