Giải SGK Toán 7 Bài 8 (Chân trời sáng tạo): Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 77 Tập 2

Khởi động trang 77 Toán lớp 7 Tập 2: Làm thế nào để tính khoảng cách từ mỗi đỉnh đến cạnh đối diện của một tam giác?

Lời giải:

Khoảng cách từ mỗi đỉnh đến cạnh đối diện của tam giác là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện của đỉnh đó.

1. Đường cao của tam giác

Khám phá 1 trang 77 Toán lớp 7 Tập 2: Em hãy vẽ một tam giác ABC trên giấy, sau đó dùng êke vẽ đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh đối diện AC của tam giác.

Lời giải:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tam giác ABC.

Bước 2. Đặt êke sao cho một cạnh của êke trùng với cạnh AC, di chuyển êke sao cho cạnh còn lại đi qua đỉnh B.

Bước 3. Khi đó kẻ một đoạn thẳng từ B đến cạnh AC thông qua cạnh của êke vừa đặt ở bước 2 ta thu được đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh AC.

Ta có hình vẽ sau:

Thực hành 1 trang 77 Toán lớp 7 Tập 2: Vẽ ba đường cao AH, BK, CE của tam giác nhọn ABC.

Lời giải:

Để vẽ đường cao AH của tam giác nhọn ABC ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ tam giác nhọn ABC.

Bước 2. Đặt êke sao cho 1 cạnh của êke trùng với cạnh BC, cạnh còn lại đi qua đỉnh A.

Khi đó kẻ 1 đường thẳng từ A đến BC thông qua cạnh đi đỉnh A vừa đặt, ta thu được đường cao đi qua đỉnh A. Đường thẳng này cắt cạnh BC tại một điểm, điểm này chính là điểm H.

Thực hiện tương tự đối với các đường cao BK và CE ta thu được hình vẽ sau:

Vận dụng 1 trang 77 Toán lớp 7 Tập 2: Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC (Hình 2a). Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác tù DEF (Hình 2b).

Lời giải:

+) Hình 2a:

Tam giác ABC có $\widehat{BAC}$là góc vuông nên BA $\perp$AC.

Do đó đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC là BA.

+) Hình 2b:

Tam giác DEF có $\widehat{EDF}$là góc tù nên đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác DEF nằm ngoài tam giác.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tam giác tù DEF.

Bước 2. Kéo dài cạnh DE về phía D.

Bước 3. Đặt êke sao cho một cạnh của êke trùng với đường thẳng DE, di chuyển êke sao cho đỉnh còn lại đi qua đỉnh F.

Bước 4. Khi đó kẻ một đoạn thẳng từ F đến cạnh DE thông qua cạnh của êke vừa đặt ở bước 2 ta thu được đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh F đến cạnh DE.

Bước 5. Thực hiện đánh dấu chân đường vuông góc từ F đến DE và xóa các đoạn thừa, ta thu được đường cao FH của tam giác DEF như sau:

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Khám phá 2 trang 77 Toán lớp 7 Tập 2: Vẽ một tam giác rồi dùng êke vẽ ba đường cao của tam giác ấy (Hình 3). Em hãy quan sát và cho biết các đường cao vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.

 

Lời giải:

Bước 1. Thực hiện đặt êke sao cho 1 cạnh của êke trùng với 1 cạnh của tam giác, cạnh còn lại đi qua đỉnh đối diện với cạnh đó. Khi đó ta thu được 1 đường cao của tam giác.

Bước 2. Thực hiện tương tự với 2 đỉnh còn lại, ta thu được 3 đường cao của tam giác.

Khi đó ta thấy ba đường cao vừa vẽ cùng đi qua một điểm.

Giải Toán 7 trang 78 Tập 2

Thực hành 2 trang 78 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (Hình 6).

Chứng minh rằng NS vuông góc với ML.

Lời giải:

Tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S nên S là trực tâm của tam giác LMN.

Do đó NS vuông góc với ML.

Vận dụng 2 trang 78 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HAB, HAC.

Lời giải:

Tam giác HBC có HD $\perp$BC, BF $\perp$HC nên HD và BF là hai đường cao của tam giác HBC.

Mà HD và BF cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.

Tam giác HAB có HF $\perp$AB, BD $\perp$AH nên HF, BD là hai đường cao của tam giác HAB.

Mà HF và BD cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác HAB.

Tam giác HAC có HE $\perp$AC, CD $\perp$AH nên HE, CD là hai đường cao của tam giác HAC.

Mà HE và CD cắt nhau tại B nên B là trực tâm của tam giác HAC.

Bài tập (trang 78)

Bài 1 trang 78 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng CH vuông góc với NB.

Lời giải:

Tam giác BNC có BA $\perp$NC, NM $\perp$BC nên BA, NM là hai đường cao của tam giác BNC.

Mà BA và NM cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BNC.

Do đó CH vuông góc với NB.

Bài 2 trang 78 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Lời giải:

Tam giác BMC có BM = BC nên tam giác BMC cân tại B.

Tam giác BMC cân tại B, có BN là đường phân giác nên BN cũng là đường cao của tam giác BMC.

Do đó BN $\perp$MC.

Tam giác BMC có CA $\perp$BM, BN $\perp$MC nên CA, BN là hai đường cao của tam giác BMC.

Mà CA và BN cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BMC.

Do đó MH $\perp$BC.

Bài 3 trang 78 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC;

b) BE vuông góc với DC.

Lời giải:

Gọi giao điểm của DE và BC là H.

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$) và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$.

Tam giác vuông ADE có AD = AE nên tam giác ADE vuông cân tại A.

Khi đó $\widehat{A\text{D}E}+\widehat{A\text{ED}}=90°$và $\widehat{A\text{D}E}=\widehat{A\text{ED}}$.

Do đó $\widehat{A\text{D}E}=\widehat{A\text{ED}}=45°$.

Ta có $\widehat{A\text{ED}}$là góc ngoài tại đỉnh E của tam giác EDC nên $\widehat{A\text{ED}}=\widehat{E\text{D}C}+\widehat{ECD}$.

Do đó $\widehat{E\text{D}C}+\widehat{ECD}=45°$.

Khi đó trong tam giác DHC:

$\widehat{DHC}=180°-\widehat{H\text{D}C}-\widehat{HC\text{D}}=180°-\widehat{H\text{D}C}-\widehat{EC\text{D}}-\widehat{ECH}$.

$\widehat{DHC}=180°-\left(\widehat{H\text{D}C}+\widehat{EC\text{D}}\right)-45°$.

$\widehat{DHC}=180°-45°-45°=90°$.

Do đó DH $\perp$BC.

b) Tam giác BDC có CA $\perp$BD, DH $\perp$BC nên CA, DH là hai đường cao của tam giác BDC.

Mà CA và DH cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác BDC.

Do đó BE vuông góc với DC.

Bài 4 trang 78 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải:

Xét $\Delta FBC$vuông tại F và $\Delta ECB$vuông tại E có:

CF = BE (theo giả thiết).

BC chung.

Do đó $\Delta FBC=\Delta ECB$(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$(2 góc tương ứng).

Tam giác ABC có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC (1).

Xét $\Delta E\text{A}B$vuông tại E và $\Delta DBA$vuông tại D có:

BE = AD (theo giả thiết).

AB chung.

Do đó $\Delta E\text{A}B=\Delta DBA$(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{E\text{AB}}=\widehat{DBA}$(2 góc tương ứng).

Tam giác ABC có $\widehat{CAB}=\widehat{CBA}$nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó CA = CB (2).

Từ (1) và (2) ta có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết:

Giải SGK Toán 7 Bài 7 : Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 8 : Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 9 : Tính chất ba đường phân giác

Giải SGK Toán 7 Bài 10 : Hoạt động thực hành và trải nghiệm: Làm giàn hoa tam giác để trang trí lớp học

Giải SGK Toán 7 : Bài tập cuối chương 8