Chương 4 (Kết nối tri thức 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Chương 4

Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 4

1. Tổng các góc trong một tam giác

• Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

• Mỗi góc ngoài của một tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó.

• Phân loại tam giác dựa vào số đo góc:

+ Tam giác có ba góc đều nhọn được gọi là tam giác nhọn.

+ Tam giác có một góc tù được gọi là tam giác tù.

+ Tam giác có một góc vuông được gọi là tam giác vuông.

• Hai góc có tổng số đo bằng 90° được gọi là hai góc phụ nhau. Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

2. Hai tam giác bằng nhau

• Hai tam giác bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

• Trường hợp bằng nhau thứ nhất: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

• Trường hợp bằng nhau thứ hai: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

• Trường hợp bằng nhau thứ ba: góc – cạnh – góc (g.c.g)

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

4. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

• Trường hợp: hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

• Trường hợp: cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

• Trường hợp: cạnh huyền – góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

• Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

5. Tam giác cân

• Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

• Tính chất:

+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

• Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi đó ba góc cũng bằng nhau và bằng 60°.

+ Một tam giác có ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác đều.

+ Tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì tam giác ấy là tam giác đều.

6. Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

• Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

• Đường trung trực của đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

• Đường trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Bài tập Tổng hợp Toán 7 Chương 4

Bài 1. Tính số đo x, y trong các hình dưới đây:

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x + x + 30° + x + 15° = 180° (tổng ba góc trong tam giác)

⇒ 3x + 45° = 180°

⇒ 3x = 180° − 45°

⇒ 3x = 135°

⇒ x = 45°

Vậy x = 45°

b) Ta có: 3y – 10° = y + 60° (góc ngoài của tam giác)

⇒ 2y = 70°

⇒ y = 35°

Có: x + y + 60° = 180° (tổng ba góc trong tam giác)

⇒ x + 35° + 60° = 180°

⇒ x = 85°

Vậy x = 85°; y = 35°

Bài 2. Cho hình dưới đây, biết tam giác ABC vuông tại A, BD là tia phân giác của góc ABC và BA = BE. Chứng minh rằng:

a) <$\Delta ABD=\Delta EBD$ và $\widehat{BED}=90°$>;

b) BD là đường trung trực của cạnh AE;

c) Tam giác BFC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

BA = BE (theo giả thiết)

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$)

BD là cạnh chung

Do đó, $\Delta ABD=\Delta EBD$ (c.g.c)

⇒ $\widehat{BAD}=\widehat{BED}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BAD}=90°$(theo giả thiết) ⇒ $\widehat{BED}=90°$ (đpcm)

b) Vì $\Delta ABD=\Delta EBD$ (chứng minh trên)

⇒ DA = DE (2 cạnh tương ứng)

⇒ D thuộc đường trung trực của AE (tính chất đường trung trực) (1)

Mà BA = BE (theo giả thiết)

⇒ B thuộc đường trung trực của AE (tính chất đường trung trực) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BD là đường trung trực của AE (đpcm)

c) Vì $\widehat{BED}=90°$ (chứng minh trên) ⇒ $\Delta EBF$ vuông tại E

Xét tam giác ABC (vuông tại A) và tam giác EBF (vuông tại E) có:

BA = BE (theo giả thiết)

$\widehat{ABC}$ là góc chung

⇒ $\Delta ABC=\Delta EBF$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

⇒ BC = BF (2 cạnh tương ứng)

⇒ $\Delta BFC$ cân tại B (đpcm).

Bài 3. Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của cạnh AB sao cho AM = BN. O là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

a) $\Delta AMO=\Delta BNO$;

b) Tam giác AMN cân;

c) Nếu $\widehat{AMO}=30°$ thì tam giác AMB là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

MN là đường trung trực của AB ⇒ MN ⊥ AB tại O và OA = OB

a) Xét hai tam giác vuông AMO và BNO có:

AM = BN (theo giả thiết)

OA = OB

⇒ $\Delta AMO=\Delta BNO$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

b) Ta có: AN = BN (vì N thuộc đường trung trực của AB)

Mà AM = BN (theo giả thiết)

⇒ AN = AM

⇒ $\Delta AMN$ cân cân tại A (đpcm)

c) Tam giác AMO vuông tại O có:

$\widehat{AMO}+\widehat{MAO}=90°$ (hai góc phụ nhau)

⇒ $30°+\widehat{MAO}=90°$

⇒ $\widehat{MAO}=60°$ hay $\widehat{MAB}=60°$

Có: MA = MB (vì M thuộc đường trung trực của AB)

⇒ $\Delta AMB$ là tam giác cân

Mà $\widehat{MAB}=60°$

⇒ $\Delta AMB$ là tam giác đều (đpcm).