20 Bài tập Định lí có đáp án – Toán 7

Bài tập Toán lớp 7 Bài 4: Định lí

A. Bài tập tự luyện

A.1 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho định lý : “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau”.

a) Vẽ hình minh họa nội dung định lý trên.

b) Viết giả thiết, kết luận của định lý trên.

c) Chứng minh định lý trên.

Hướng dẫn giải

a // b, c cắt a tại A, c cắt b tại B

$\hat{A_{1}}, \hat{B_{1}}$ là hai góc đồng vị.

$\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$

c) Chứng minh

Qua điểm B kẻ đường thẳng b’ sao cho góc $\hat{B_{2}} = \hat{A_{1}}$ .

Khi đó đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a và b’ hai góc đồng vị bằng nhau.

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta có a và b’ song song với nhau.

Suy ra qua B có hai đường thẳng b, b’ cùng song song với a.

Theo Tiên đề Euclid thì hai đường thẳng b’ và b trùng nhau.

Từ đó suy ra $\hat{B_{2}} = \hat{A_{1}}$ (vì cùng bằng $\hat{B_{2}}$ ).

Bài 2. Vẽ hình minh họa và viết giả thiết, kết luận bằng kí hiệu cho định lý sau: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường còn lại”.

Hướng dẫn giải

a // b

c ⊥ a

c ⊥ b

A.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Chọn phát biểu đúng

A. Giả thiết của định lí là điều suy ra;

B. Kết luận của định lí là điều cho biết;

C. Giả thiết của định lí là điều cho biết;

D. Cả A và B đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả thiết của định lí là phần cho biết. Kết luận của định lí là điều suy ra.

Câu 2. Trong định lí, phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết, vậy phần nằm sau từ “thì” là phần?

A. kết luận;

B. trả lời;

C. ý nghĩa;

D. định nghĩa.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết, vậy phần nằm sau từ “thì” là phần kết luận.

Câu 3. Chứng minh định lí là:

A. Dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận;

B. Dùng hình vẽ để từ giả thiết suy ra kết luận;

C. Dùng đo đạc thực tế để từ giả thiết suy ra kết luận;

D. Cả 3 đáp án đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

B. Lý thuyết Định lý

1. Định lý

Khẳng định có các tính chất sau thì được gọi là định lý:

– Là một phát biểu về một tính chất toán học;

– Tính chất toán học đó đã được chứng tỏ là đúng không dựa vào trực giác hay đo đạc,..

Nhận xét:

+ Định lý thường được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”.

+ Phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết, phần nằm sau từ “thì” là phần kết luận.

Ví dụ: Định lý: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau”.

Giả thiết: Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

Kết luận: Hai góc so le trong bằng nhau.

Ta có thể vẽ hình minh họa và viết GT, KL của định lý này như sau:

a // b

c cắt a tại A, c cắt b tại B

$\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ là hai góc so le trong

$\hat{A_{3}}$ = $\hat{B_{1}}$

2. Chứng minh định lý

Chứng minh định lý là một tiến trình lập luận từ giả thiết suy ra kết luận là đúng.

Ví dụ: Chứng minh định lý: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Hướng dẫn giải

a và b phân biệt

a ⊥ c

b ⊥ c

a // b

Chứng minh

Ta có a ⊥ c suy ra $\hat{A_{1}} = 90 °$ ; và b ⊥ c suy ra $\hat{B_{1}} = 90 °$ .

Suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ .

Mà hai góc $\hat{A_{1}}$ , $\hat{B_{1}}$ là hai góc đồng vị.

Vậy a // b.

A. Phương pháp giải

1. Định lí

Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng.

Mỗi định lí đều có hai phần:

– Phần đã cho gọi là giả thiết của định lí.

– Phần phải suy ra gọi là kết luận của định lí.

Khi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu A thì B” thì A là giả thiết; B là kết luận.

2. Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

3. Hệ quả là một định lí được suy ra trực tiếp từ một định lí hoặc từ một tính chất được thừa nhận.

4. Định lí thuận, định lí đảo

Xét định lí “Nếu A thì B” có mệnh đề đảo là “Nếu B thì A”. Nếu mệnh đề đảo này đúng thì mệnh đề đảo được gọi là định lí đảo của định lí đã cho và định lí đã cho gọi là định lí thuận.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Định lí “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có định lí đảo không?

Giải

Định lí “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có mệnh đề đảo là “Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh”. Mệnh đề đảo này sai.

Ví dụ, xét góc AOB, tia phân giác OM (h.5.1).

Rõ ràng hai góc AOM và BOM bằng nhau nhưng không đối đỉnh vì mỗi cạnh của góc này không là tia đối một cạnh của góc kia.

Vậy định lí “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” không có định lí đảo.

Nhận xét: Một ví dụ chứng tỏ một mệnh đề nào đó là sai gọi là một phản ví dụ. Như vậy ta đã dùng phương pháp đưa ra một phản ví dụ để chứng tỏ mệnh đề “Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” là sai.

Ví dụ 2: Chứng minh định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau nếu hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù”.

Giải (h.5.2)

Định lí hình học lớp 7 (ảnh 3)

$\hat{x O y}$ và $\hat{x^{‘} O^{‘} y^{‘}}$ cùng nhọn (tù)

$O x / / O^{‘} x^{‘}; O y / / O^{‘} y^{‘}$

\hat{x O y} = \hat{x^{‘} O^{‘} y^{‘}}

* Tìm cách giải

Để chứng minh $\hat{O} = \hat{O^{‘}}$ ta chứng minh chúng cùng bằng một góc thứ ba. Dựa vào giả thiết có các cặp đường thẳng song song, ta nghĩ đến việc vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song để tìm ra các cặp góc bằng nhau.

* Trình bày lời giải

Định lí hình học lớp 7 (ảnh 4)

Gọi K là giao điểm của các đường thẳng Ox và $O^{‘} y^{‘}$ .

Vì $O^{‘} y^{‘} / / O y$ nên $\hat{O} = \hat{x K y^{‘}}$ (cặp góc đồng vị);

Vì $O^{‘} x^{‘} / / O x$ nên $\hat{O^{‘}} = \hat{x K y^{‘}}$ (cặp góc đồng vị).

Do đó $\hat{O} = \hat{O^{‘}}$ (cùng bằng $\hat{x K y^{‘}}$ ).

Nhận xét: Người ta cũng chứng minh được rằng:

Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:

– Chúng bù nhau nếu góc này nhọn, góc kia tù;

– Góc này vuông thì góc kia vuông.

Ví dụ 3: Chứng minh định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì chúng bằng nhau nếu hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù”.

Giải (h.5.3)

$\hat{x O y}$ và $\hat{x^{‘} O^{‘} y^{‘}}$ cùng nhọn (tù)

$O x ⊥ O^{‘} x^{‘}; O y ⊥ O^{‘} y^{‘}$

\hat{x O y} = \hat{x^{‘} O^{‘} y^{‘}}

* Tìm cách giải

Định lí hình học lớp 7 (ảnh 5)

Để chứng minh $\hat{x O y} = \hat{x^{‘} O^{‘} y^{‘}}$ ta chứng minh chúng cùng bằng một góc thứ ba. Để tạo ra góc thứ ba này ta vẽ $O^{‘} m / / O x$ và $O^{‘} n / / O y$ , hai tia này cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $O^{‘} x^{‘}$ (h.5.4).

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy