20 Bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận có đáp án – Toán 7

Bài tập Toán lớp 7 Bài 7: Đại lượng tỉ lệ thuận

A. Bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận

A.1 Bài tập tự luận

Bài 1. 5 mét dây đồng nặng 43 gam. Hỏi 10 km dây đồng như thế nặng bao nhiêu kilogam?

Hướng dẫn giải

Gọi x (gam) và y (mét) lần lượt là khối lượng và chiều dài của dây đồng.

Đổi 10 km = 10 000m

Khi đó mối quan hệ giữa khối lượng (x) và chiều dài (y) được cho bởi bảng sau:

Khối lượng (x)	x1 = 43	x2 = ?
Chiều dài (y)	y1 = 5	y2 = 10 000

Ta có chiều dài tỉ lệ thuận với khối lượng của dây theo hệ số tỉ lệ $\mathrm{k}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_1}=\frac{5}{43}$

Suy ra $\frac{{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{10000}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{5}{43}$. Vì thế ${\mathrm{x}}_2=\frac{10000.43}{5}=86000$ (gam) = 86 (kg)

Vậy 10km dây đồng nặng 86 kg.

Bài 2. Học sinh của ba lớp 7 cần trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp.

Hướng dẫn giải

Gọi số cây xanh mỗi lớp 7A, 7B, 7C cần trồng và chăm sóc lần lượt là x (cây), y (cây), z (cây).

Vì số cây tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp nên ta có: $\frac{\mathrm{x}}{32}=\frac{\mathrm{y}}{28}=\frac{\mathrm{z}}{36}$ và x + y + z = 24.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 $\frac{\mathrm{x}}{32}=\frac{\mathrm{y}}{28}=\frac{\mathrm{z}}{36}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{32+28+36}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}=0,25$.

Do đó x = 32 . 0,25 = 8

y = 28 . 0,25 = 7

z = 36 . 0,25 = 9

Vậy số cây mà mỗi lớp 7A, 7B, 7C cần trồng và chăm sóc lần lượt là 8 (cây); 7 (cây); 9 (cây).

A.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{3}$ khi:

A. xy = 3;

B. $\mathrm{xy}=\frac{1}{3};$ 

C. x = 3y;

D. y = 3x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

Vì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{3}$ nên ta có $\mathrm{x}=\frac{1}{3}\mathrm{y}$.

Suy ra y = 3x.

Vậy y = 3x.

Câu 2. Cho biết x và y trong bảng là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

x	x1 = −4	x2	x3 = −2
y	y1	y2 = 6	y3 = 4

Giá trị của y₁ và x₂ trong bảng trên là:

A. y₁ = 8; x₂ = 3;

B. y₁ = −8; x₂ = −3;

C. y₁ = −8; x₂ = 3;

D. y₁ = 8; x₂ = −3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

Gọi k (k ≠ 0) là hệ số tỉ lệ của y đối với x.

Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y = kx.

Từ bảng ta có khi x₃ = −2 thì y₃ = 4 do đó 4 = k.(−2)

Suy ra $\mathrm{k}=\frac{4}{-2}=-2$ (thoả mãn)

Vậy y = −2x.

Với x₁ = −4 thì y₁ = (−2).(−4) = 8, do đó y₁ = 8;

Với y₂ = 6 thì 6 = (−2).x₂ suy ra ${\mathrm{x}}_2=\frac{6}{-2}=-3$, do đó x₂ = −3.

Vậy y₁ = 8; x₂ = −3.

Câu 3. Ba chị Thảo, Tuyết và Chi có năng suất lao động tương ứng tỉ lệ với 2, 5, 7. Tính số tiền chị Chi được thưởng biết tổng số tiền thưởng của ba người là 21 triệu đồng, biết số tiền thưởng chia theo năng suất làm việc.

A. 1,5 triệu đồng;

B. 3 triệu đồng;

C. 7,5 triệu đồng;

D. 10,5 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

Gọi x, y, z (triệu đồng) lần lượt là số tiền thưởng của chị Thảo, chị Tuyết và chị Chi (0 < x, y, z < 15).

Vì năng suất lao động của ba người tương ứng tỉ lệ với 2; 5; 7 nên số tiền thưởng cũng tỉ lệ thuận với 2; 5; 7. Do đó $\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{\mathrm{z}}{7}$.

Mà tổng số tiền thưởng của ba người là 21 triệu đồng nên x + y + z = 21.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{\mathrm{z}}{7}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{2+5+7}=\frac{21}{14}=1,5$

Suy ra:

+) $\frac{\mathrm{x}}{2}=1,5$ nên x = 1,5 . 2 = 3 (thoả mãn);

+) $\frac{\mathrm{y}}{5}=1,5$ nên y = 5 . 1,5 = 7,5 (thoả mãn);

+) $\frac{\mathrm{z}}{7}=1,5$ nên z = 7 . 1,5 = 10,5 (thoả mãn).

Vậy số tiền thưởng của chị Chi là 10,5 triệu đồng.

B. Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ thuận

1. Khái niệm

– Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

– Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{\mathrm{k}}$. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

Ví dụ:

a) Nếu y = 2x thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2. Khi đó x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{2}$.

b) Chu vi đường tròn C và đường kính d liên hệ với nhau bởi công thức C = π . d. Khi đó C tỉ lệ thuận với d theo hệ số tỉ lệ là π (π ≈ 3,14).

2. Tính chất

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

– Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi;

– Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃,… khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y_3­, … của y. Khi đó:

$\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_1}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_3}{{\mathrm{x}}_3}=\mathrm{\dots }=\mathrm{k};$

$\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_2};\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_3}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_3};\mathrm{\dots }$

Ví dụ: Khối lượng và thể tích của các thanh kim loại đồng chất là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Biết hai thanh kim loại đồng chất có thể tích lần lượt là 10 cm³ và 15 cm³. Tính tỉ số khối lượng của hai thanh kim loại đó.

Hướng dẫn giải

Gọi m₁ (gam) và m₂ (gam) lần lượt là khối lượng của hai thanh kim loại có thể tích 10 cm³ và 15 cm³.

Áp dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận ta có $\frac{{\mathrm{m}}_1}{{\mathrm{m}}_2}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.

3. Một số bài toán

Bài toán 1:  Một máy in trong 5 phút in được 120 trang. Hỏi trong 3 phút máy in đó in được bao nhiêu trang?

Hướng dẫn giải

Gọi x (phút), y (trang) lần lượt là thời gian in và số trang mà máy in đã in được. Khi đó mỗi quan hệ giữa thời gian (x) và số trang in được (y) được cho bởi bảng sau:

Thời gian (x)	x1 = 5	x2 = 3
Số trang in (y)	y1 = 120	y2 = ?

Ta có thời gian in tỉ lệ thuận với số trang in được theo hệ số tỉ lệ $\mathrm{k}=\frac{120}{5}=24$.

Suy ra $\frac{{\mathrm{y}}_2}{3}=24$. Vì thế y₂ = 24 . 3 = 72.

Vậy trong 3 phút máy in in được 72 trang.

Bài toán 2: Hai thanh chì có thể tích là 12 cm³ và 17 cm³. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất 56,5 g?

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng của hai thanh chì tương ứng là m₁ gam và m₂ gam. Khi đó m₂ – m₁ = 56,5 (g)

Do khối lượng và thể tích của vật thể là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Do đó, ta có:

$\frac{{\mathrm{m}}_1}{12}=\frac{{\mathrm{m}}_2}{17}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{\mathrm{m}}_1}{12}=\frac{{\mathrm{m}}_2}{17}=\frac{{\mathrm{m}}_2-{\mathrm{m}}_1}{17-12}=\frac{56,5}{5}=11,3$.

Suy ra m₁ = 12 . 11,3 = 135,6 ;   m₂ = 17 . 11,3 = 192,1.

Vậy hai thanh chì có khối lượng là 135,6 gam và 192,1 gam.

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Nếu đại lương y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=kx$ (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

2. Chú ý:

* Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ thuận với y và ta nói hai đại lượng đó tỷ lệ thuận với nhau.

* Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (khác 0) thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số $\frac{1}{k}$.

* Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $k_1$, y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ $k_2$ thì z tỷ lệ thuận với  x theo hệ số tỉ lệ $k_1.k_2$.

3. Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

• Tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi:

$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_3}=\mathrm{\dots }=k.$

* Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2};\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_1}{y_3};\mathrm{\dots }$

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Dưới dây là bảng giá trị tương ứng của thời gian t (giờ) và quãng đường s (km) trong một chuyển động:

Thời gian t (giờ)	0,8	1,2	1,5	2,5	4
Quãng đường s (km)	20	30	37,5	62,5	100

 

a) Hai đại lượng quãng đường s (km) và thời gian t (giờ) có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không?

b) Tính quãng đường đi ứng với thời gian 6 giờ 30 phút?

c) Nếu quãng đường là 90 km thì thời gian đi là bao nhiêu ?

Tìm cách giải: Dựa vào tính chất để kết luận: ta nhận thấy:

$\frac{20}{0,8}=\frac{30}{1,2}=\frac{37,5}{1,5}=\frac{62,5}{2,5}=\frac{100}{4}=25$

Nghĩa là tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi. Từ đó tìm ra công thức và tính s với t = 6 giờ 30 phút = 6,5 giờ và tính t với s = 90 km.

Giải

a) Ta có: $\frac{s}{t}=\frac{20}{0,8}=\frac{30}{1,2}=\frac{37,5}{1,5}=\frac{62,5}{2,5}=\frac{100}{4}=25.$

Ta thấy tỉ số hai giá trị tương ứng của hai đại lượng luôn không đổi $\frac{s}{t}=25\Rightarrow s=25t$ nên đại lượng s tỉ lệ thuận với đại lượng t.

b) Với t = 6,5 (giờ) thì $s=25.6,5=162,5\left(km\right)$.

c) Với $s=90\left(km\right)$ thì $t=90:25=3,6$ (giờ) = 3 giờ 36 phút.

P Chú ý: Đây chính là bài toán thể hiện quan hệ giữa ba đại lượng quãng đường (s), thời gian (t) và vận tốc (v) của một động tử mà quan hệ là $s=v.t$. Trong bài toán chuyển động đều cùng vận tốc v thì s và t là hai đại lượng tỉ lệ thuận (nếu cùng thời gian t thì s và v cũng là hai đại lượng tỉ lệ thuận).

Ví dụ 2: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong 2 bảng sau:

 

x	1	2	3	4	6
y	2	3	5	6	10

Bảng I

                

     

x	-2	-3	-4	-6	1
y	6	9	12	18	-3

Bảng  II  

 

a) Trong bảng nào thì hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau?

b) Trong trường hợp hai đại lượng tỉ lệ thuận, hãy tìm x biết $y=-18$; tìm y biết $x=15$.

Tìm cách giải:

a) Ta tìm tất cả tỷ số giữa hai giá trị tương ứng đã cho của y nếu chúng luôn không đổi thì y tỷ lệ thuận với x. Còn nếu xét hai tỷ số giữa hai cặp giá trị tương ứng nào đó của hai đại lượng mà khác nhau ta kết luận luôn hai đại lượng không tỉ lệ thuận với nhau.

b) Ta tìm hệ số tỷ lệ k, tìm công thức $y=kx$ rồi tính ra số cần tìm.