Phương pháp giải và bài tập về Các bài toán liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc

Tài liệu Các bài toán liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc gồm các nội dung chính sau:

Phương pháp

–          Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn và phương pháp giải Các bài toán liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc.

Các ví dụ

–          Gồm 2 ví dụ minh họa của Các bài toán liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 4. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

 Phương pháp

1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

 Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực:

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của  nó. biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là $\left[X=a\right]$ hay $\left(X=a\right)$

Giải sử X có tập các giá trị là {x₁, x₂,…,x_n}

Đặt:.$p_1=P\left(X=x_1\right),\dots ,p_n=P\left(X=x_n\right)$ Ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác  suất của biến ngẫu nhiên X.

$X$	$x_1$	$x_2$	…		…	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	…		…	$p_n$

 

2. Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn.

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1). Kì vọng của X, kí hiệu E (X),  là một số được cho bởi công thức:$E\left(X\right)=x_1{p}_1+\dots +x_n{p}_n=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$                                                               (2)

Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu $V\left(X\right)$, là một số được cho bởi công thức:

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{\left(x_i-E\left(X\right)\right)}^2{p}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{p}_i-{\left(E\left(X\right)\right)}^2$

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: $\sigma \left(X\right)$, là một số được cho bởi công thức:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X.

Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X.

Bài toán 01: Lập bảng phân bố xác suất

Phương pháp: Để lập bảng phân bố xác suất của biến ngãu nhiên X ta làm như sau

 Tìm tập giá trị của X

Để tìm tập giá trị của X ta có thể tiến hành theo hai cách sau

Cách 1: Dựa vào cách mô tả của X ta có thể liệt kê được các giá trị cảu X có thể nhận, không cần mô tả không gian mẫu.

Cách 2: Liệt kê các kết quả của không gian mẫu $\Omega$; với mỗi kết quả $a$, tính giá trị $X\left(a\right)$ của biến cố X tại $a$. Từ đó ta có tập giá trị của $X\left(\Omega \right)$.

.. Giả sử $X\left(\Omega \right)=\left\{x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n\right\}$, tính $p_i=P(X=x_i)=\frac{\left|(X=x_i)\right|}{\Omega }$

 Lập bảng phân bố xác suất

Ví dụ . Ta có hai hộp bi: hộp 1 có 3 bi trắng và 1 bi đỏ; hộp 2 có 2 bi trắng và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 viên bi và bỏ vào hộp 2. Sau đó, lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 ra 2 viên bỏ vào hộp 1. Gọi X là số bi trắng ở hộp 1 sau hai lần chuyển bi như trên. Lập bảng phân phối xác suất của  X

Lời giải:

 Lấy 2 viên từ hộp 1. Có thể có 2 trường hợp sau:

TH 1: 1 đỏ, 1 trắng, suy ra hộp 1 có 2 trắng, hộp 2 có 3 đỏ, 3 trắng

TH 2: 2 trắng, suy ra hộp 1 có 1 trắng, 1đỏ, hộp 2 có 4 trắng, 2 đỏ

 Lấy 2 viên từ hộp 2.

Với TH1 ta có 3 khả năng

Khả năng 1: 1 đỏ, 1 trắng suy ra hộp 2 có 2 đỏ, 2 trắng, hộp 1 có 3 trắng, 1 đỏ.

Khả năng 2: 2 đỏ, suy ra hộp 2 có 1 đỏ, 3 trắng; hộp 1 có 2 đỏ, 2 trắng.

Khả năng 3: 2 trắng, suy ra hộp 2 có 3 đỏ, 1 trắng; hộp 1 có 4 trắng

Với TH2 ta có các khả năng sau

Khả năng 1: 1 đỏ, 1 trắng, suy ra hộp 2 có 1 đỏ, 3 trắng, hộp 1 có 2 trắng, 2 đỏ.

Khả năng 2: 2 đỏ, suy ra hộp 2 có 4 trắng; hộp 1 có 3 đỏ, 1 trắng.

Khả năng 3: 2 trắng suy ra hộp 2 có 2 đỏ, 2 trắng; hộp 1 có 3 trắng, 1 đỏ.

Vậy sau khi chuyển qua, chuyển về thì hộp 1 có thể có X = 1, 2, 3, 4 và hộp 2 có Y = 1, 2, 3, 4

Ta có: P(X=1)= P(lần đầu chọn 2 trắng và lần sau chọn 2 đỏ)

Suy ra : $P(X=1)=\frac{C_3^2}{C_4^2}.\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{30}$

Tương tự: $P\left(X=2\right)=\frac{C_1^1{C}_3^1}{C_4^2}.\frac{C_3^2}{C_6^2}+\frac{C_3^2}{C_4^2}.\frac{C_4^1{C}_2^1}{C_6^2}=\frac{11}{30}$

$P\left(X=3\right)=\frac{C_1^1{C}_3^1}{C_4^2}.\frac{C_3^1{C}_3^1}{C_6^2}+\frac{C_3^2}{C_4^2}.\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{1}{2}$                  

$P(X=4)=\frac{C_1^1{C}_3^1}{C_4^2}.\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{10}$                 

Bảng phân bố xác suất

$X$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{30}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{10}$

Bài toán 02: Tính kỳ vọng và phương sai

Phương pháp: Để tính kỳ vọng và phương sai của biến cố ngẫu nhiên X ta làm như sau:

 Tìm tập giá trị $X\left(\Omega \right)=\left\{x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n\right\}$

 Lập bảng phân bố xác suất

 

$X$	$x_1$	$x_2$	…		…	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	…		…	$p_n$

 Tính kì vọng theo công thức: $E\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$

 Tính phương sai theo công thức:

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{\left(x_i-E\left(X\right)\right)}^2{p}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{p}_i-{\left(E\left(X\right)\right)}^2$.

Xem thêm