Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Bài 6. Cấp số cộng
Nghiên cứu về dãy số có quy luật cộng dồn, công thức xác định số hạng bất kỳ và tổng của một dãy số hạng liên tiếp.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết cấp số cộng
1 1. Định nghĩa cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$.
$u_{n} = u_{n-1} + d$ (với $n \ge 2$)
Số $d$ được gọi là công sai.
2 2. Số hạng tổng quát
Số hạng thứ $n$ của cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ là:
$$u_n = u_1 + (n-1)d$$
Tính chất: $u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ (Mỗi số hạng trừ số đầu và cuối là trung bình cộng của hai số hạng kề bên).
3 3. Tổng $n$ số hạng đầu
Tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ được tính bằng:
- $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$
- $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$
Các dạng bài tập
1 Xác định các yếu tố của CSC
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất và định nghĩa để kiểm tra dãy số có là CSC hay không, hoặc tìm công sai từ hai số hạng cho trước.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Dãy $u_n = 5 - 2n$ có phải CSC không? Nếu có, tìm $d$.
GIẢI
$u_{n} - u_{n-1} = (5-2n) - (5-2(n-1)) = -2$. Hiệu không đổi nên là CSC với $d = -2$.
VÍ DỤ 2
Cho $u_1 = 3, d = -4$. Tìm $u_5$.
GIẢI
$u_5 = 3 + 4(-4) = -13$.
VÍ DỤ 3
Tìm công sai $d$ biết $u_1 = 2$ và $u_2 = 10$.
GIẢI
$d = u_2 - u_1 = 8$.
2 Tìm số hạng và công sai
Phương pháp giải
Lập hệ phương trình dựa trên công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n-1)d$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho CSC có $u_2 = 5$ và $u_5 = 14$. Tìm $u_1$ và $d$.
GIẢI
Hệ: $u_1 + d = 5$ và $u_1 + 4d = 14$. Trừ vế: $3d = 9 \Rightarrow d = 3 \Rightarrow u_1 = 2$.
VÍ DỤ 2
Trong một CSC, $u_{10} = 20$. Tìm $u_1 + u_{19}$.
GIẢI
$u_1 + u_{19} = (u_1 + 9d) + (u_{19} - 9d) = u_{10} + u_{10} = 40$.
VÍ DỤ 3
Tìm số hạng thứ 100 của CSC: $1, 4, 7, 10, \dots$
GIẢI
$u_1 = 1, d = 3 \Rightarrow u_{100} = 1 + 99 \cdot 3 = 298$.
3 Tính tổng n số hạng đầu
Phương pháp giải
Sử dụng công thức $S_n$. Nếu chưa có $u_n$, dùng công thức theo $u_1$ và $d$.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính tổng 50 số nguyên dương đầu tiên chia hết cho 5.
GIẢI
$u_1 = 5, d = 5, n = 50 \Rightarrow S_{50} = \dfrac{50[2(5) + 49(5)]}{2} = 25[255] = 6375$.
VÍ DỤ 2
Cho CSC có $u_1 = 1, d = 2$. Tìm $n$ biết $S_n = 100$.
GIẢI
$100 = \dfrac{n[2(1) + (n-1)2]}{2} = \dfrac{n[2n]}{2} = n^2 \Rightarrow n = 10$.
VÍ DỤ 3
Tính tổng $1 + 4 + 7 + \dots + 31$.
GIẢI
$u_1=1, d=3, u_n=31 \Rightarrow 31=1+(n-1)3 \Rightarrow n=11$.
$S_{11} = \dfrac{11(1+31)}{2} = 176$.
$S_{11} = \dfrac{11(1+31)}{2} = 176$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay