Bài 6. Cấp số cộng
Nghiên cứu về định nghĩa cấp số cộng, số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Lý thuyết
1 1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$.
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n + d$.
2 2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức:
$$u_n = u_1 + (n-1)d$$
3 3. Tính chất
Ba số hạng liên tiếp $u_{k-1}, u_k, u_{k+1}$ lập thành cấp số cộng thì:
$$u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$$
4 4. Tổng n số hạng đầu tiên
Cho cấp số cộng $(u_n)$. Tổng $S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n$ được tính bởi công thức:
$$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$$
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Xác định cấp số cộng và các yếu tố
Sử dụng công thức truy hồi hoặc hiệu $u_{n+1} - u_n = d$ (hằng số) để chứng minh dãy số là cấp số cộng. Tìm $u_1$ và $d$.
Ví dụ minh họa
Ta có $u_{n+1} - u_n = [3(n+1) + 2] - (3n+2) = 3n + 5 - 3n - 2 = 3$.
Hiệu này không đổi với mọi $n$, nên đây là CSC với công sai $d=3$.
2 Dạng 2: Tìm số hạng và tính tổng
Sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n-1)d$ và công thức tổng $S_n$.
Ví dụ minh họa
$u_{10} = u_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 2 = 21$.
$S_{10} = \frac{10(u_1 + u_{10})}{2} = \frac{10(3 + 21)}{2} = 5 \cdot 24 = 120$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 2 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay