Bài 7. Cấp số nhân
Nghiên cứu về định nghĩa cấp số nhân, số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Lý thuyết
1 1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$.
Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.
Công thức truy hồi: $u_{n+1} = u_n \cdot q$.
2 2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thì:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)$$
3 3. Tính chất
Ba số hạng liên tiếp $u_{k-1}, u_k, u_{k+1}$ lập thành cấp số nhân thì:
$$u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$$
4 4. Tổng n số hạng đầu tiên
Cho cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q \neq 1$. Tổng $S_n$ được tính bởi công thức:
$$S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$$
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Xác định cấp số nhân
Kiểm tra $u_{n+1} / u_n = q$ (hằng số) với mọi $n$.
Ví dụ minh họa
Tac có $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \cdot 2^{n+1}}{3 \cdot 2^n} = 2$.
Tỉ số này không đổi, nên là CSN với $q=2$.
2 Dạng 2: Tìm số hạng và tổng
Sử dụng công thức $u_n = u_1 q^{n-1}$ và $S_n$.
Ví dụ minh họa
$u_5 = u_1 \cdot q^4 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.
$S_5 = \frac{3(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{3(-31)}{-1} = 93$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 2 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay