Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất
Lý thuyết về không gian mẫu, biến cố và các phương pháp tính xác suất của biến cố trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức.
Lý thuyết
1 1. Không gian mẫu và biến cố
Không gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu, kí hiệu là $\Omega$.
Biến cố
Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố, kí hiệu là $A, B, C, \dots$
- Biến cố chắc chắn: Là tập $\Omega$.
- Biến cố không thể: Là tập $\varnothing$.
- Biến cố đối: Biến cố "Không xảy ra $A$", kí hiệu là $\overline{A} = \Omega \setminus A$.
2 2. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Định nghĩa
Giả sử một phép thử có không gian mẫu $\Omega$ gồm hữu hạn các kết quả đồng khả năng. Xác suất của biến cố $A$, kí hiệu là $P(A)$, được tính bằng công thức:
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$
Trong đó:
- $n(A)$ là số phần tử của tập hợp $A$ (số kết quả thuận lợi cho $A$).
- $n(\Omega)$ là số phần tử của không gian mẫu (tổng số kết quả có thể xảy ra).
Tính chất
- $0 \leq P(A) \leq 1$
- $P(\Omega) = 1, P(\varnothing) = 0$
- $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
3 3. Biến cố hợp, biến cố giao và quy tắc cộng
Biến cố hợp
Biến cố "$A$ hoặc $B$ xảy ra", kí hiệu là $A \cup B$.
Biến cố giao
Biến cố "Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra", kí hiệu là $A \cap B$ hoặc $AB$.
Quy tắc cộng xác suất
Với hai biến cố $A$ và $B$ bất kì:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
Nếu $A$ và $B$ xung khắc ($A \cap B = \varnothing$), thì:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Xác định không gian mẫu và biến cố
Phương pháp giải
- Liệt kê các phần tử hoặc mô tả tính chất đặc trưng của không gian mẫu $\Omega$.
- Xác định các phần tử của biến cố $A$ dựa trên yêu cầu đề bài.
- Sử dụng các quy tắc đếm (cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) để tính $n(\Omega)$ và $n(A)$.
Ví dụ minh họa
Giải:
Mỗi lần gieo xúc xắc có 6 kết quả có thể xảy ra (từ 1 đến 6 chấm).
Vì gieo 2 lần nên theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là:
$$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$$
2 Dạng 2: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển
Phương pháp giải
- Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
- Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, kí hiệu là $n(A)$.
- Áp dụng công thức $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
Ví dụ minh họa
Giải:
Số cách lấy 2 quả từ 8 quả là: $n(\Omega) = C_8^2 = 28$.
Gọi $A$ là biến cố "2 quả lấy ra cùng màu".
- Trường hợp 1: 2 quả trắng, có $C_5^2 = 10$ cách.
- Trường hợp 2: 2 quả đen, có $C_3^2 = 3$ cách.
Số kết quả thuận lợi cho $A$ là: $n(A) = 10 + 3 = 13$.
Xác suất cần tính: $P(A) = \frac{13}{28}$.
3 Dạng 3: Tính xác suất của biến cố đối, biến cố hợp
Phương pháp giải
- Sử dụng công thức biến cố đối: $P(A) = 1 - P(\overline{A})$. Cách này thường dùng khi bài toán có từ khóa "ít nhất", "có tối thiểu"...
- Sử dụng quy tắc cộng xác suất cho biến cố hợp.
Ví dụ minh họa
Giải:
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = 2^3 = 8$.
Gọi $A$ là biến cố "Ít nhất một lần ngửa".
Biến cố đối $\overline{A}$ là "Không có lần nào ngửa" (tức là cả 3 lần đều sấp).
Số kết quả cho $\overline{A}$ là: $n(\overline{A}) = 1$ (SSS)$.
Xác suất của biến cố đối: $P(\overline{A}) = \frac{1}{8}$.
Xác suất cần tính: $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 10 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay