Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Tìm hiểu về ba khái niệm cơ bản của đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, cùng các công thức tính và ứng dụng vào bài toán thực tế.
Lý thuyết
1 1. Hoán vị
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ($n \ge 1$). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$ được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.
Số các hoán vị của $n$ phần tử, kí hiệu là $P_n$, được tính bằng công thức:
$$P_n = n! = n(n-1)...2.1$$
Quy ước: $0! = 1$.
2 2. Chỉnh hợp
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ($n \ge 1$) và một số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Mỗi kết quả của việc lấy ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:
$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$$
3 3. Tổ hợp
Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử ($n \ge 1$). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử ($0 \le k \le n$) của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.
Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức:
$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$$
Tính chất của các số tổ hợp:
- $C_n^k = C_n^{n-k}$ ($0 \le k \le n$)
- $C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = C_n^k$ ($1 \le k < n$) (Công thức Pascal)
Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Phương pháp giải
- Sử dụng trực tiếp các công thức tính $P_n, A_n^k, C_n^k$.
- Sử dụng máy tính cầm tay để tính toán nhanh các giá trị.
- Đối với các bài toán chứng minh hoặc rút gọn biểu thức, cần nắm vững các tính chất và công thức khai triển giai thừa.
Ví dụ minh họa
Ta có:
- $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
- $A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20$.
- $C_6^4 = C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
Vậy $M = 6 + 20 - 15 = 11$.
2 Dạng 2: Bài toán xếp hàng, chọn đội
Phương pháp giải
- Hoán vị: Dùng khi cần sắp xếp tất cả $n$ phần tử vào $n$ vị trí khác nhau.
- Chỉnh hợp: Dùng khi cần chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử và có sắp xếp thứ tự (ví dụ: bầu chức vụ, xếp vào vị trí khác nhau, lập số tự nhiên).
- Tổ hợp: Dùng khi chỉ cần chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử mà không quan tâm đến thứ tự sắp xếp (ví dụ: chọn một nhóm đi trực nhật, chọn tập con).
Ví dụ minh họa
Vì mỗi người giữ một chức vụ khác nhau nên việc chọn ra 3 người và phân vào 3 chức vụ là một chỉnh hợp chập 3 của 40.
Số cách chọn là: $A_{40}^3 = 40 \times 39 \times 38 = 59.280$ cách.
3 Dạng 3: Bài toán có điều kiện
Phương pháp giải
- Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân kết hợp với hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Đối với bài toán có điều kiện 'luôn đứng cạnh nhau': Ta coi nhóm phần tử đó là một phần tử 'siêu' và thực hiện hoán vị. Sau đó hoán vị nội bộ trong nhóm đó.
- Đối với bài toán có điều kiện 'không đứng cạnh nhau': Sử dụng phương pháp 'vách ngăn'.
Ví dụ minh họa
Coi 2 học sinh nữ là một nhóm $X$.
Xếp nhóm $X$ và 3 học sinh nam (tổng cộng 4 đối tượng) vào hàng ngang: có $P_4 = 4! = 24$ cách.
Trong mỗi cách xếp đó, 2 học sinh nữ có thể đổi chỗ cho nhau: có $P_2 = 2! = 2$ cách.
Theo quy tắc nhân, số cách xếp thỏa mãn là: $24 \times 2 = 48$ cách.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 10 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngay