Bài 19: Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương (VTCP)

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$.

Nếu $\vec{u}$ là VTCP thì $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là VTCP.

Vectơ pháp tuyến (VTPT)

Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$.

Mối liên hệ: Nếu $\Delta$ có VTCP $\vec{u} = (a; b)$ thì nó có VTPT là $\vec{n} = (-b; a)$ hoặc $\vec{n} = (b; -a)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và có VTCP $\vec{u} = (u_1; u_2)$ có phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = x_0 + tu_1 \\ y = y_0 + tu_2 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Phương trình dạng $ax + by + c = 0$ (với $a^2 + b^2 > 0$) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nếu đường thẳng có phương trình $ax + by + c = 0$ thì nó có:

• VTPT là $\vec{n} = (a; b)$
• VTCP là $\vec{u} = (-b; a)$

Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$.

• $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ khi $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$.
• $\Delta_1 \parallel \Delta_2$ khi $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (với điều kiện các mẫu khác 0).
• $\Delta_1 \equiv \Delta_2$ khi $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ được tính bởi công thức:

$$d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$