Chứng minh:

Cách 1: Sử dụng tính chất tâm hình bình hành

Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$.

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác $MAC$:

$MA^2 + MC^2 = 2MO^2 + 2AO^2$ (với $O$ là trung điểm $AC$)

Tương tự, trong tam giác $MBD$:

$MB^2 + MD^2 = 2MO^2 + 2BO^2$ (với $O$ là trung điểm $BD$)

Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, và $AO = CO$, $BO = DO$.

Hơn nữa, trong hình bình hành: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ (định lý hình bình hành)

Từ $AO = CO$ và $BO = DO$, ta có $AO^2 = CO^2$ và $BO^2 = DO^2$.

Nhưng cần chứng minh $AO^2 = BO^2$? Không đúng trong trường hợp tổng quát.

Cách 2: Sử dụng vectơ

Đặt $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Chọn $A$ làm gốc.

Khi đó: $B = \vec{a}$, $D = \vec{b}$, $C = \vec{a} + \vec{b}$, $O = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

Với điểm $M$ có vectơ vị trí $\vec{m}$:

$MA^2 = |\vec{m}|^2 = m^2$

$MC^2 = |\vec{m} - (\vec{a} + \vec{b})|^2 = m^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b})^2$

$MB^2 = |\vec{m} - \vec{a}|^2 = m^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{a} + a^2$

$MD^2 = |\vec{m} - \vec{b}|^2 = m^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{b} + b^2$

Tính:

$MA^2 + MC^2 = 2m^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b})^2$

$MB^2 + MD^2 = 2m^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + a^2 + b^2$

Vì $(\vec{a} + \vec{b})^2 = a^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + b^2$

Nên $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$ khi và chỉ khi $a^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + b^2 = a^2 + b^2$

Tức là $2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, nghĩa là $\vec{a} \perp \vec{b}$ (hình chữ nhật).

Sửa lại đề: Đẳng thức đúng cho hình chữ nhật, không đúng cho hình bình hành tổng quát.

Đẳng thức đúng: $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD})$ (cần điều chỉnh)

Hoặc: $\vec{MA} + \vec{MC} = 2\vec{MO}$ và $\vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MO}$ (đúng)

Kết luận: Đẳng thức ban đầu chỉ đúng khi $ABCD$ là hình chữ nhật.

Bài tập: Bài 9: Tích của một số với một vectơ