Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Định lí cosin và định lí sin
Video bài giảng Định lí cosin và định lí sin – Chân trời sáng tạo
Giải toán lớp 10 trang 65 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khởi động trang 65 Toán lớp 10: Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?
Phương pháp giải:
Với ta sử dụng định lí Pytago.
Với : Áp dụng định lí cosin:
Lời giải:
Áp dụng định lí Pytago, ta có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:
Mà
1. Định lí cosin trong tam giác
Giải toán lớp 10 trang 66 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khám phá 1 trang 66 Toán lớp 10: a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: (2)
(3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có:
Lưu ý: Nếu thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
Lưu ý: Vì A là góc tù nên
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức có thể viết là
Lời giải:
a) ? = x vì
b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: (2)
(3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có:
c) Ta có:
Mà
Giải toán lớp 10 trang 67 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 1 trang 67 Toán lớp 10:Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
Lời giải:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
Mà
Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:
Vậy
Vận dụng 1 trang 67 Toán lớp 10: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc (Hình 5).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin
Lời giải:
Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
Mà
Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 987,5147 m.
2. Định lí sin trong tam giác
HĐ Khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10: a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có và R là bán kính của đường trong ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.
i) Tính theo a và R.
ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc và . Từ đó chứng minh rằng
b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức
Lời giải:
a) Tam giác BDC vuông tại C nên
b) TH1: Tam giác ABC có góc A nhọn
do cùng chắn cung nhỏ BC.
TH2: Tam giác ABC có góc A tù
do ABDC là tứ giác nội tiếp (O).
Vậy với góc A nhọn hay tù ta đều có
b) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC là đường kính của (O).
Khi đó ta có: và
Do đó ta vẫn có công thức:
Giải toán lớp 10 trang 69 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 2 trang 69 Toán lớp 10: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP:
Lời giải:
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Suy ra:
Vận dụng 2 trang 69 Toán lớp 10: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí sin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy.
Áp dụng định lí cosin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước B đến đám cháy.
Lời giải:
Đặt các điểm A, B, C, D lần lượt là vị trí bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, tháp canh và đám cháy.
Ta có:
Áp dụng định lí sin trong tam giác CBD, ta có:
Suy ra:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACD ta có:
Vì nên khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy là ngắn hơn.
Vậy nên dẫn nước từ bồn chứa nước A để dập tắt đám cháy nhanh hơn.
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Giải toán lớp 10 trang 70 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC như Hình 10.
a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và
b) Tính theo b và sinC.
c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức
d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức
Lời giải:
a) Diện tích S của tam giác ABC là:
b) Xét tam giác vuông AHC ta có:
c) Thay vào công thức diện tích, ta được:
d) Theo định lí sin ta có:
Thay vào công thức ở c) ta được:
HĐ Khám phá 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).
a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.
b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC:
Lời giải:
a) Diện tích của tam giác IAB là:
Diện tích của tam giác IAC là:
Diện tích của tam giác IBC là:
b) Diện tích S của tam giác ABC là:
Giải toán lớp 10 trang 71 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 3 trang 71 Toán lớp 10: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) Các cạnh và
b) Các cạnh
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức:
b) Áp dụng công thức Heron
Lời giải:
a) Áp dụng công thức: , ta có:
b) Ta có:
Áp dụng công thức Heron, ta có:
Giải toán lớp 10 trang 72 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Vận dụng 3 trang 72 Toán lớp 10: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cách buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cách đó có số đo là và (Hình 12).
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng định lí sin tính AC.
Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức
Lời giải:
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới
Đặt
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Áp dụng công thức ta có:
Bài tập
Bài 1 trang 72 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau :
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin, tính x bằng công thức:
Lời giải:
a) Áp dụng định lí cosin, ta có:
b) Áp dụng định lí cosin, ta có:
Bài 2 trang 72 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí sin:
Lời giải:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Bài 3 trang 72 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí sin:
Lời giải:
Đặt
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Suy ra:
Giải toán lớp 10 trang 73 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 73 Toán lớp 10: Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin để tính góc:
Lời giải:
Đặt
Ta có:
Áp dụng định lí cosin, ta có:
Suy ra:
Vậy
Bài 5 trang 73 Toán lớp 10: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.
Phương pháp giải:
Tính diện tích bằng công thức:
Lời giải:
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình trên.
Từ giả thiết ta có:
Áp dụng công thức , ta có:
Bài 6 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và .
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích bằng công thức:
b) Tìm a, từ đó suy ra R bằng định lí sin => Tính diện tích tam giác IBC
Lời giải:
Đặt
a) Áp dụng công thức , ta có:
b) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được:
Xét tam giác IBC ta có:
Góc (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Bài 7 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.
a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác GBC.
Phương pháp giải:
a) Tính r bằng công thức: . Trong đó S tính bởi công thức heron.
b) Tìm a, từ đó suy ra R bằng định lí sin => Tính diện tích tam giác IBC
Lời giải:
a) Đặt
Ta có:
Áp dụng công thức heron, ta có:
Và
b) Gọi, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và G xuống BC, M là trung điểm BC.
G là trọng tâm tam giác ABC nên
Xét tam giác IBC ta có:
Góc (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Bài 8 trang 73 Toán lớp 10: Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính theo b và sinC
Bước 2: Tính b theo R và sinB. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải:
Đặt
Ta có:
Theo định lí sin, ta có:
Bài 9 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.
a) Chứng minh
b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích bằng công thức
b)
Lời giải:
a) Áp dụng công thức cho tam giác ABC và BED, ta có:
b) Ta có:
Mà
+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:
và góc B chung
(cgc)
Ta có: (do B là góc nhọn)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
Bài 10 trang 73 Toán lớp 10: Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a) Chứng minh
b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích 4 tam giác nhỏ theo .
Chú ý:
b) thì
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Áp dụng công thức , ta có:
Mà
b) Nếu thì
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800
Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Bài tập cuối chương 4
Bài 1: Khái niệm vecto
====== ****&**** =====