Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 1 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: a) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

$\frac{\sqrt{2}}{11}x;–3x+y^4;–3x{y}^{4}z;\frac{–1}{321}{x}^3{y}^5+7$.

b) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

$\frac{–13}{21}{x}^3{y}^2+9x{y}^6–8;x+y;xyz+\sqrt{2};\frac{x–5z}{x^2+z^2+1}$.

Lời giải:

a) Các biểu thức là đơn thức là: $\frac{\sqrt{2}}{11}x;–3x{y}^{4}z$.

b) Các biểu thức là đa thức là: $\frac{–13}{21}{x}^3{y}^2+9x{y}^6–8;x+y;xyz+\sqrt{2}$.

Bài 2 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Thu gọn mỗi đơn thức sau:

a) $\frac{–9}{17}{x}^{23}{y}^{22}{y}^{14}$.

b) $\frac{2}{\sqrt{121}}x{y}^{3}z{y}^2{z}^3$.

c) $\frac{–187}{124}{x}^4{y}^6{z}^8{x}^5{y}^2{z}^{10}$.

Lời giải:

a) $\frac{–9}{17}{x}^{23}{y}^{22}{y}^{14}=\frac{–9}{17}{x}^{23}\left(y^{22}.y^{14}\right)=\frac{–9}{17}{x}^{23}{y}^{36}$.

b) $\frac{2}{\sqrt{121}}x{y}^{3}z{y}^2{z}^3=\frac{2}{\sqrt{{11}^2}}x\left(y^3.y^2\right)\left(z.z^3\right)=\frac{2}{11}x{y}^5{z}^4$.

c) $\frac{–187}{124}{x}^4{y}^6{z}^8{x}^5{y}^2{z}^{10}=\frac{–187}{124}\left(x^4.x^5\right)\left(y^6.y^2\right)\left(z^8.z^{10}\right)=\frac{–187}{124}{x}^9{y}^8{z}^{18}$.

Bài 3 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) xy³ ‒ 2xy³ ‒ 12xy³;

b) $\frac{–12}{43}{x}^{2}y+2x^{2}y+\frac{–31}{43}{x}^{2}y$;

c) $\frac{–\sqrt{16}}{75}{x}^6{y}^{9}z+\frac{–\sqrt{49}}{15}{x}^6{y}^{9}z–\frac{1}{5}{x}^6{y}^{9}z$.

Lời giải:

a) xy³ ‒ 2xy³ ‒ 12xy³ = (1 ‒ 2 ‒ 12)xy³ = ‒13xy³.

b) $\frac{–12}{43}{x}^{2}y+2x^{2}y+\frac{–31}{43}{x}^{2}y$

$=\left(\frac{–12}{43}+\frac{–31}{43}+2\right)x^{2}y$

= (‒1 + 2)x²y

= x²y.

c) $\frac{–\sqrt{16}}{75}{x}^6{y}^{9}z+\frac{–\sqrt{49}}{15}{x}^6{y}^{9}z–\frac{1}{5}{x}^6{y}^{9}z$

$=\frac{–4}{75}{x}^6{y}^{9}z–\frac{7}{15}{x}^6{y}^{9}z–\frac{1}{5}{x}^6{y}^{9}z$

$=\left(\frac{–4}{75}–\frac{7}{15}–\frac{1}{5}\right)x^6{y}^{9}z$

$=\left(\frac{–4}{75}–\frac{35}{75}–\frac{15}{75}\right)x^6{y}^{9}z=\frac{–54}{75}{x}^6{y}^{9}z=\frac{–18}{25}{x}^6{y}^{9}z$.

Bài 4 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Thu gọn mỗi đa thức sau:

a) $x^2{y}^5+2x{y}^2–x^2{y}^5+\frac{24}{35}x{y}^2$;

b) ‒11y²z³ ‒ 22xy³z³ + 2y²z³ ‒ 33xy³z³ ‒ 72;

c) $\frac{\sqrt{4}}{41}{x}^2{y}^4{z}^3+x^2{y}^{4}z+\frac{39}{41}{x}^2{y}^4{z}^3–x^2{y}^{4}z+z^{18}$.

Lời giải:

a) $x^2{y}^5+2x{y}^2–x^2{y}^5+\frac{24}{35}x{y}^2$

$=\left(x^2{y}^5–x^2{y}^5\right)+\left(2x{y}^2+\frac{24}{35}x{y}^2\right)$

$=0+\left(2+\frac{24}{35}\right)x{y}^2$

$=\frac{94}{35}x{y}^2$.

b) ‒11y²z³ ‒ 22xy³z³ + 2y²z³ ‒ 33xy³z³ ‒ 72

= (‒11y²z³ + 2y²z³) + (‒22xy³z³ ‒ 33xy³z³) ‒ 72

= ‒9y²z³ ‒ 55xy³z³ ‒ 72.

c) $\frac{\sqrt{4}}{41}{x}^2{y}^4{z}^3+x^2{y}^{4}z+\frac{39}{41}{x}^2{y}^4{z}^3–x^2{y}^{4}z+z^{18}$

$=\frac{2}{41}{x}^2{y}^4{z}^3+x^2{y}^{4}z+\frac{39}{41}{x}^2{y}^4{z}^3–x^2{y}^{4}z+z^{18}$

$=\left(\frac{2}{41}{x}^2{y}^4{z}^3+\frac{39}{41}{x}^2{y}^4{z}^3\right)+\left(x^2{y}^{4}z–x^2{y}^{4}z\right)+z^{18}$

$=x^2{y}^4{z}^3+z^{18}$.

Bài 5 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) $A=–x^3{y}^2+2x^2{y}^5–\frac{1}{2}xy$ tại $x=2;y=\frac{1}{2}$;

b) $B=y^{12}+x^5{y}^5–100x^4{y}^4+100x^3{y}^3–100x^2{y}^2+100xy–\sqrt{36}$ tại x = 99, y = 0;

c) $C=x{y}^2+5^{2}xz–\sqrt{3}xy{z}^3+25$ tại $x=\frac{–1}{2};y=–\sqrt{3};z=2$.

Lời giải:

a) Thay $x=2;y=\frac{1}{2}$ vào A, ta có:

$A=–2^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2.2^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^5–\frac{1}{2}.2.\frac{1}{2}$

$=–2^3.\frac{1}{2^2}+2^3.\frac{1}{2^5}–\frac{1}{2}=–2+\frac{1}{4}–\frac{1}{2}=\frac{–9}{4}$.

b) Thay x = 99 và y = 0 vào B, ta có:

$B=0^{12}+{99}^5.0^5–100.{99}^4.0^4+100.{99}^3.0^3–100.{99}^2.0^2+100.99.0–\sqrt{36}$

$=–\sqrt{36}=–6$.

c) Thay $x=\frac{–1}{2};y=–\sqrt{3};z=2$ vào C ta có:

$C=\frac{–1}{2}.{\left(–\sqrt{3}\right)}^2+5^2.\frac{–1}{2}.2–\sqrt{3}.\frac{–1}{2}.\left(–\sqrt{3}\right).2^3+25$

$=\frac{–1}{2}.3+25.(–1)+3.(–1).2^2+25=\frac{–3}{2}–25–12+25=\frac{–27}{2}$.

Bài 6 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm số nguyên y sao cho giá trị của đa thức H = ‒54y⁶ + 36y⁴ +12y² ‒ 6y + 23là số lẻ tại các giá trị y đó.

Lời giải:

Do 54 ⋮ 2; 36 ⋮ 2; 12 ⋮ 2; 6 ⋮ 2nên (‒54y⁶ + 36y⁴ +12y² ‒ 6y)⋮ 2.

Suy ra giá trị của đa thức K = ‒54y⁶ + 36y⁴ +12y² ‒ 6ylà số chẵn tại mọi số nguyên y. Mà 23 là số lẻ, suy ra giá trị của đa thức H = ‒54y⁶ + 36y⁴ +12y² 6y + 23là số lẻ tại mọi số nguyên y.

Bài 7* trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đa thức $G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23$ với b là một số cho trước sao cho $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên. Chứng tỏ rằng: G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Lời giải:

Ta có: $G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23=\frac{1}{2}{x}^2–\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+bx+23$

$=\left(\frac{1}{2}{x}^2–\frac{1}{2}x\right)+\left(\frac{1}{2}x+bx\right)+23$

$=\frac{x^2–x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$

$=\frac{(x–1)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$.

Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên $\frac{\left(x–1\right)x}{2}$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Mà $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên, suy ra $\frac{\left(x–1\right)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Vậy Gluôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập cuối chương 1