Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A'D'. Gọi P', Q, Q' lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD'C', A'B'C'D', ADD'A'a) Chứng minh rằng PP'→ + QQ'→ + RR'→ = 0→b) Chứng minh hai tam giác PQR và P'Q'R' có trọng tâm trùng nhau.

Câu hỏi:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A’D’. Gọi P’, Q, Q’ lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{PP‘} + \overrightarrow{QQ‘} + \overrightarrow{RR‘} = \overrightarrow{0}$b) Chứng minh hai tam giác PQR và P’Q’R’ có trọng tâm trùng nhau.

Trả lời:

b) Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác PQR và P’Q’R’.Theo câu a) ta có: Do đó: G trùng với G’Vậy hai tam giác PQR và P’Q’R’ có cùng trọng tâm.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.a) Hãy biểu diễn các vectơ AO→, AO'→, theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho.b) Chứng minh rằng AD→ + D'C'→ + D'A'→ = AB→
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.a) Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AO‘}$, theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho.b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D‘C‘} + \overrightarrow{D‘A‘} = \overrightarrow{AB}$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là:OA→ + OC→ = OB→ + OD→
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là:$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

   Trả lời:

   Giả sử bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành ta có:Ngược lại, giả sử ta có hệ thức:Vì A, B, C, D không thẳng hàng nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao choAMAC =BNBD = k (k>0)Chứng minh rằng ba vectơ PQ→, PM→, PN→ đồng phẳng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho$\frac{AM}{AC} =\frac{BN}{BD} = k (k>0)$Chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PM}, \overrightarrow{PN}$ đồng phẳng.

   Trả lời:

    vì

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA', BB', CC' ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho AM + BN + CP = aChứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho AM + BN + CP = aChứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

   Trả lời:

   Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:Cộng từng vế với vế ta có:Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên và G’ là trọng tâm của tam giác MNP nên:Do đó: Hay Vì điểm G cố định và  là vectơ không đổi nên G’ là điểm cố định. Vậy mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua điểm G’ cố định.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5.  Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ chỉ có chung nhau một điểm A. Chứng minh rằng các vectơ BB'→, CC'→, DD'→ đồng phẳng.
   
   

   Câu hỏi:
   

    Trong không gian cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ chỉ có chung nhau một điểm A. Chứng minh rằng các vectơ $\overrightarrow{BB‘}, \overrightarrow{CC‘}, \overrightarrow{DD‘}$ đồng phẳng.

   Trả lời:

   Ta có: Do đó: Hệ thức  biểu thị sự đồng phẳng của ba vectơ $\overrightarrow{BB‘}, \overrightarrow{CC‘}, \overrightarrow{DD‘}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====