Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu hỏi:

Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)$;

B. $AD+BE+CF=\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)$;

C. AD + BE + CF < AB + BC + AC;

D. Đáp án A, C đúng.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta xét đáp án A, B:
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có $GB=\frac{2}{3}BE$ và $GC=\frac{2}{3}CF$.
∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).
Suy ra $\frac{2}{3}BE+\frac{2}{3}CF>BC$.
Do đó $\frac{2}{3}\left(BE+CF\right)>BC$.
Khi đó $BE+CF>\frac{3}{2}BC$  (1).
Chứng minh tương tự ta được:
+) $AD+BE>\frac{3}{2}AB$  (2).
+) $AD+CF>\frac{3}{2}AC$  (3).
Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: $2AD+2BE+2CF>\frac{3}{2}AB+\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC$.
Suy ra $2\left(AD+BE+CF\right)>\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)$.
Do đó $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)$.
Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.
Ta xét đáp án C:
Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.
Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:
DA = DA’.
BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).
$\widehat{ADB}=\widehat{A^{‘}DB}$ (hai góc đối đỉnh).
Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).
Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.
Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB  (4).
Chứng minh tương tự, ta được:
+) 2BE < AB + BC  (5).
+) 2CF < AC + BC  (6).
Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.
Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).
Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.
Vậy đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình vẽ sau: Biết AM = 3 cm. Độ dài đoạn thẳng GM là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vẽ sau:
   
   Biết AM = 3 cm. Độ dài đoạn thẳng GM là:

   A. 1 cm;

   Đáp án chính xác

   B. 2 cm;

   C. 3 cm;

   D. 4,5 cm.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Trên hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G
   Nên G là trọng tâm tam giác ABC
   Do đó $AG=\frac{2}{3}AM$(tính chất trọng tâm)
   Suy ra $GM=\frac{1}{3}AM$
   Mà AM = 3 cm
   Nên GM = 1 cm.
   Vậy ta chọn phương án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho ∆ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khẳng định nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyến. Khẳng định nào sau đây sai?

   A. ∆ABM = ∆ACM;

   B. AM ⊥ BC;

   C. MB = MC;

   D. $\widehat{BAM}<\widehat{CAM}$.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   
   Vì AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm BC.
   Suy ra MB = MC.
   Do đó đáp án C đúng.
   Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
   AB = AC (do ∆ABC cân tại A).
   AM là cạnh chung.
   MB = MC (chứng minh trên).
   Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
   Suy ra đáp án A đúng.
   Ta có ∆ABM = ∆ACM (chứng minh trên).
   Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ và $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (các cặp góc tương ứng).
   Do đó đáp án D sai.
   Đến đây ta có thể chọn đáp án D.
   Ta có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).
   Suy ra $2\widehat{AMB}=180°$.
   Do đó $\widehat{AMB}=180°:2=90°$.
   Khi đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90°$.
   Suy ra AM ⊥ BC.
   Do đó đáp án B đúng.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Hãy so sánh GX, GY và GZ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Hãy so sánh GX, GY và GZ.

   A. GX > GY > GZ;

   B. GX = GY = GZ;

   Đáp án chính xác

   C. GX < GY = GZ;

   D. GX = GY > GZ.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có:
   $\frac{GX}{GA}=\frac{1}{2}$, $\frac{GY}{GB}=\frac{1}{2}$, $\frac{GZ}{GC}=\frac{1}{2}$ 
   Suy ra $GX=\frac{1}{2}GA;GY=\frac{1}{2}GB;GZ=\frac{1}{2}GC$
   Mà GA = GB = GC.
   Suy ra GX = GY = GZ.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho ∆ABC có đường trung tuyến AD. Trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho AG = GE = ED. Trọng tâm của ∆ABC là điểm:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC có đường trung tuyến AD. Trên đoạn thẳng AD lấy hai điểm E, G sao cho AG = GE = ED. Trọng tâm của ∆ABC là điểm:

   A. B;

   B. E;

   Đáp án chính xác

   C. G;

   D. D.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   Ta có AD = AG + GE + ED = AG + AG + AG = 3AG.
   Suy ra AG = GE = ED = $\frac{1}{3}AD$.
   Ta có AE = AG + GE = $\frac{1}{3}AD+\frac{1}{3}AD=\frac{2}{3}AD$.
   Mà AD là đường trung tuyến của ∆ABC.
   Do đó E là trọng tâm của ∆ABC.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ∆ABC đều có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Đoạn thẳng BE bằng với đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng sau:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC đều có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Đoạn thẳng BE bằng với đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng sau:

   A. AD;

   B.  CF;

   C. AB;

   D. Cả A, B đều đúng.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   
   Ta có BE, CF là hai đường trung tuyến của ∆ABC.
   Nên E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB
   Suy ra CE = $\frac{1}{2}AC$ và BF = $\frac{1}{2}AB$.
   Mà AB = AC (do ∆ABC đều).
   Do đó $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$.
   Khi đó ta có CE = BF.
   Xét ∆BCE và ∆CBF, có:
   BC là cạnh chung.
   CE = BF (chứng minh trên).
   $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC đều).
   Do đó ∆BCE = ∆CBF (c.g.c).
   Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).
   Chứng minh tương tự, ta được AD = BE.
   Suy ra BE = AD = CF.
   Do đó đáp án A, B đều đúng.
   Đáp án C sai vì:
   Xét ∆ABD và ∆ACD, có:
   AD là cạnh chung.
   BD = CD (AD là đường trung tuyến của ∆ABC).
   AB = AC (∆ABC đều).
   Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).
   Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (cặp góc tương ứng).
   Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180°$ (hai góc kề bù).
   Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=180°:2=90°$.
   Khi đó ta có AD ⊥ BC.
   Do đó đoạn thẳng AD là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC và AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.
   Suy ra AD < AB.
   Do đó đáp án C sai.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====