Cho khai triển biểu thức 3+239 . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất.

Câu hỏi:

Cho khai triển biểu thức ${\left(\sqrt{3}+23\right)}^9$ . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất.

Trả lời:

Số hạng tổng quát trong khai triển là $T_k=C_9^k{\left(\sqrt{3}\right)}^{9-k}{\left(2,3\right)}^k$.
Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để $T_k$ là một số nguyên thì
$\left\{\begin{array}{l}k\in \mathbb{N}\\ 0\le k\le 9\\ \left(9-k\right)⋮2\\ k⋮3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}k=3\Rightarrow T_3=C_9^3{\left(\sqrt{3}\right)}^6{\left(2,3\right)}^3=4536\\ k=9\Rightarrow T_9=C_9^9{\left(\sqrt{3}\right)}^0{\left(2,3\right)}^9=8.\end{array}\right.$
Dễ thấy $4536>8$ nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là $T_3=4536$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khai triển 2x+110  . a) Tìm hệ số của x5  trong khai triển trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khai triển ${\left(2x+1\right)}^{10}$  .
   a) Tìm hệ số của $x^5$  trong khai triển trên.

   Trả lời:

   Ta có ${\left(2x+1\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2x\right)}^k=\sum _{k=0}^{10}{2}^k{C}_{10}^k.x^k$ .
   Số hạng chứa $x^5$  ứng với $k=5$ .
   Hệ số cần tìm là $C_{10}^5{.2}^5=8064$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển trên.

   Trả lời:

   Số hạng không chứa x ứng với k=0.
   Hệ số cần tìm là $C_{10}^0{.2}^0=1$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn x−2×221 x≠0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn ${\left(x-\frac{2}{x^2}\right)}^{21}$ $\left(x\ne 0\right)$

   Trả lời:

   Ta có số hạng tổng quát là
   $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k=C_{21}^k{x}^{21-k}.{\left(-\frac{2}{x^2}\right)}^k={\left(-2\right)}^k{C}_{21}^k{x}^{21-3k}$.
   Số hạng không chứa x ứng với $21-3k=0\iff k=7$ .
   Vậy hệ số cần tìm là $-2^7{C}_{21}^7$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm hệ số của số hạng chứa x6  trong khai triển x31−x8
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm hệ số của số hạng chứa $x^6$  trong khai triển $x^3{\left(1-x\right)}^8$

   Trả lời:

   Số hạng tổng quát của khai triển là $x^3.C_8^k{\left(-x\right)}^k=C_8^k{\left(-1\right)}^k{x}^{k+3}$.
   Số hạng chứa $x^6$ khi $k+3=6\iff k=3$ .
   Vậy hệ số cần tìm là $C_8^3{\left(-1\right)}^3=-56$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2×3−3×10,x>0 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(2x3-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)}^{10},x>0$ .

   Trả lời:

   Ta có ${\left(2x3-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)}^{10}={\left(2.x^{\frac{1}{3}}-3.x^{-\frac{1}{2}}\right)}^{10}$.
   Số hạng tổng quát trong khai triển là
   $C_{10}^k{\left(2x^{\frac{1}{3}}\right)}^{10-k}.{\left(-3x^{-\frac{1}{2}}\right)}^k={\left(-1\right)}^k{.2}^{10-k}{.3}^k.x^{\frac{10-k}{3}}.x^{-\frac{k}{2}}={\left(-1\right)}^k{C}_{10}^k{.2}^{10-k}{.3}^k.x^{\frac{20-5k}{6}}.$
   Số hạng không chứa x ứng với $20-5k=0\iff k=4$
   Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là
   ${\left(-1\right)}^4{C}_{10}^4{.2}^6{.3}^4=\mathrm{210.64.81}=1088640$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====