Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức x2+1×12  ta có hệ số của một số hạng chứa xm  bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.

Câu hỏi:

Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$  ta có hệ số của một số hạng chứa $x^m$  bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.

Trả lời:

Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là
$C_{12}^k{\left(x^2\right)}^{12-k}.{\left(\frac{1}{x}\right)}^k=C_{12}^k.x^{24-2k}.x^{-k}=C_{12}^k.x^{24-3k}.$
Hệ số của số hạng $x^m$ là 495 nên $C_{12}^k=495\iff \frac{12!}{k!\left(12-k\right)!}=495\iff \left[\begin{array}{l}k=4\\ k=8.\end{array}\right.$
Khi đó $m=24-3k$ sẽ có 2 giá trị là $m=0$ và $m=12$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển  1+xn có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 715 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển  ${\left(1+x\right)}^n$ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là $\frac{7}{15}$ .

   Trả lời:

   Ta có ${\left(1+x\right)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+\mathrm{\dots }+C_n^k{x}^k+C_n^{k+1}{x}^{k+1}+\mathrm{\dots }+C_n^n{x}^n$.
   $\begin{array}{l}\frac{C_n^k}{C_n^{k+1}}=\frac{7}{15}\iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}.\frac{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}{n!}=\frac{7}{15}\iff \frac{k+1}{n-k}=\frac{7}{15}.\\ \Rightarrow 15\left(k+1\right)=7\left(n-k\right)\iff 7n=15+22k\iff 7n=7\left(3k+2\right)+k+1.\end{array}$
   Vì $k;n\in \mathbb{N}$ nên ta có $k+1⋮7\Rightarrow k_{\min }=6\Rightarrow n_{\min }=21$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của 1+ax1+x4  có chứa số hạng 22×3 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của $\left(1+ax\right){\left(1+x\right)}^4$  có chứa số hạng $22x^3$ .

   A. a=5

   B. a=-3

   C. a=3

   Đáp án chính xác

   D. a=2

   Trả lời:

   Ta có $\left(1+ax\right){\left(1+x\right)}^4={\left(1+x\right)}^4+ax.{\left(1+x\right)}^4$.
   Xét khai triển ${\left(x+1\right)}^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.
   Suy ra số hạng chứa $x^3$ là $4x^3$.
   Xét khai triển $ax{\left(x+1\right)}^4=ax\left(x^4+4x^3+6x^2+4x+1\right)=a{x}^5+4a{x}^4+6a{x}^3+4a{x}^2+ax$.
   Suy ra số hạng chứa $x^3$ là $6a{x}^3$.
   Suy ra số hạng chứa $x^3$ trong cả khai triển là $\left(6a+4\right)x^3$.
   Theo đề ra, ta có $6a+4=22\iff a=3$.
   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Biết rằng hệ số của xn−2  trong khai triển x−14n  bằng 31. Tìm n.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết rằng hệ số của $x^{n-2}$  trong khai triển ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^n$  bằng 31. Tìm n.

   A. n=32

   Đáp án chính xác

   B. n=30

   C. n = 31 

   D. n=33

   Trả lời:

   Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^{n-k}{\left(-\frac{1}{4}\right)}^k$.
   Hệ số của $x^{n-2}$ nên ta có $x^{n-2}=x^{n-k}\iff k=2$.
   Ta có $C_n^2{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2=31\iff C_n^2=492\iff n=32$.
   Vậy n=32.
   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Xét khai triển 1+3xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn  với n∈ℕ*,n≥3 . Giả sử a1=27 , khi đó a2  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét khai triển ${\left(1+3x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$  với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 3$ . Giả sử $a_1=27$ , khi đó $a_2$  bằng

   A. 1053. 

   B. 243. 

   C. 324. 

   Đáp án chính xác

   D. 351.

   Trả lời:

   Ta có: ${\left(1+3x\right)}^n=\sum _{k=1}^n{C}_n^k{\left(3x\right)}^k=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$.
   Theo giả thiết: .$a_1=27\iff C_n^1{3}^1=27\iff C_n^1=9\iff n=9$
   Suy ra $a_2=C_9^2{3}^2=324$.
   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Số hạng không chứa x trong khai triển x2−1xn  biết An2−Cn2=105  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$  biết $A_n^2-C_n^2=105$  là

   A. -3003. 

   B. -5005. 

   C. 5005. 

   D. 3003.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có: $A_n^2-C_n^2=105\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=105$
   $\iff \frac{1}{2}n\left(n-1\right)=105\iff n^2-n-210=0\iff \left[\begin{array}{l}n=15\\ n=-14\end{array}\right.\Rightarrow n=15$
   Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là $T_{k+1}=C_{15}^k.{\left(x^2\right)}^{15-k}.{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=C_{15}^k.{\left(-1\right)}^k.x^{30-3k}$.
   Số hạng không chứa x ứng với $30-3k=0\iff k=10$.
   Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là $C_{15}^{10}.{\left(-1\right)}^{10}=3003$.
   Đáp án D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====