Giá trị của tổng S=C20170+12C20171+13C20172+…+12018C20172017  bằng 

Câu hỏi:

Giá trị của tổng $S=C_{2017}^0+\frac{1}{2}{C}_{2017}^1+\frac{1}{3}{C}_{2017}^2+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2018}{C}_{2017}^{2017}$  bằng 

A.  $\frac{2^{2017}-1}{2017}$

B. $\frac{2^{2018}-1}{2018}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{2^{2018}-1}{2017}$

D. $\frac{2^{2017}-1}{2018}$

Trả lời:

Xét số hạng tổng quát $\frac{1}{k+1}{C}_{2017}^k$, ta có: $\frac{1}{k+1}{C}_{2017}^k=\frac{1}{1+k}.\frac{2017!}{k!\left(2017-k\right)!}=\frac{1}{2018}.\frac{2018!}{\left(k+1\right)!\left(2017-k\right)!}=\frac{1}{2018}{C}_{2018}^{k+1}$
. Vậy $\frac{1}{k+1}{C}_{2017}^k=\frac{1}{2018}{C}_{2018}^{k+1}$
$\Rightarrow S=\frac{1}{2018}\left[C_{2018}^0+C_{2018}^1+C_{2018}^2+\mathrm{\dots }+C_{2018}^{2018}\right]-\frac{C_{2018}^0}{2018}=\frac{1}{2018}{2}^{2018}-\frac{1}{2018}=\frac{2^{2018}-1}{2018}$
Đáp án B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính tổng S=C20200+C20202+C20204+…+C20202020
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tổng $S=C_{2020}^0+C_{2020}^2+C_{2020}^4+\mathrm{\dots }+C_{2020}^{2020}$

   Trả lời:

   Xét khai triển ${\left(1+x\right)}^n=C_n^0+x.C_n^1+x^2.C_n^2+\mathrm{\dots }+x^n.C_n^n$ (*)
   Thay $x=1;n=2020$ vào (*), ta được: $2^{2020}=C_{2020}^0+C_{2020}^1+C_{2020}^2+\mathrm{\dots }+C_{2020}^{2020}$ (1).
   Thay $x=-1;n=2020$ vào (*), ta được $0=C_{2020}^0-C_{2020}^1+C_{2020}^2-\mathrm{\dots }+C_{2020}^{2020}$ (2).
   Cộng theo vế (1) và (2) ta được: $2S=2^{2020}\Rightarrow S=2^{2019}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của 2−3x2n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn C2n+11+C2n+13+C2n+15+…+C2n+12n+1=1024 . Tìm hệ số của x7  trong khai triển trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left(2-3x\right)}^{2n}$ , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n+1}^{2n+1}=1024$ . Tìm hệ số của $x^7$  trong khai triển trên.

   Trả lời:

   Ta có khai triển ${\left(1+x\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^{1}x+C_{2n+1}^2{x}^2+\mathrm{\dots }+C_{2n+1}^{2n+1}{x}^{2n+1}$. (*)
   Thay $x=1$ vào (*) ta được $2^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+\mathrm{\dots }+C_{2n+1}^{2n+1}$. (1)
   Thay $x=-1$ vào (*) ta được $0=C_{2n+1}^0-C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2-\mathrm{\dots }-C_{2n+1}^{2n+1}$. (2)
   Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n+1}^{2n+1}=2^{2n}$.
   Từ giả thiết ta có: $1024=2^{2n}\iff n=5$.
   Suy ra ${\left(2-3x\right)}^{10}=\sum _{k=0}^n{C}_{10}^k.{\left(-3\right)}^k{.2}^{10-k}.x^k$.
   Hệ số của $x^7$ trong khai triển là $C_{10}^7.{\left(-3\right)}^7{.2}^3=-{8.3}^7.C_{10}^7$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đặt S=C20171+C20172+…+C20172017 . Khi đó giá trị S là 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đặt $S=C_{2017}^1+C_{2017}^2+\mathrm{\dots }+C_{2017}^{2017}$ . Khi đó giá trị S là 

   A. $2^{2018}$

   B. $2^{2017}$

   C. $2^{2017}-1$

   Đáp án chính xác

   D. $2^{2016}$

   Trả lời:

   Ta có khai triển ${\left(1+x\right)}^{2017}=C_{2017}^0+C_{2017}^{1}x+C_{2017}^2{x}^2+\mathrm{\dots }+C_{2017}^k{x}^k+\mathrm{\dots }+C_{2017}^{2017}{x}^{2017}$
   Thay x= 1 ta được $2^{2017}=C_{2017}^0+C_{2017}^1+C_{2017}^2+\mathrm{\dots }+C_{2017}^k+\mathrm{\dots }+C_{2017}^{2017}$.
   Suy ra $2^{2017}=1+S\Rightarrow S=2^{2017}-1$
   Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển ${\left(1+1\right)}^{2017}$ thì được
    $2^{2017}=C_{2017}^0+C_{2017}^1+C_{2017}^2+\mathrm{\dots }+C_{2017}^k+\mathrm{\dots }+C_{2017}^{2017}$ .. Suy ra $S=2^{2017}-1$
   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính tổng S=C100+2.C101+22.C102+…+210.C1010 . 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tổng $S=C_{10}^0+2.C_{10}^1+2^2.C_{10}^2+\mathrm{\dots }+2^{10}.C_{10}^{10}$ . 

   A. $S=2^{10}$

   B. $S=4^{10}$

   C. $S=3^{10}$

   Đáp án chính xác

   D. $S=3^{11}$

   Trả lời:

   Xét khai triển nhị thức ${\left(x+2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{x}^{10-k}{2}^k=C_{10}^0{x}^{10}+2C_{10}^1{x}^9+2^2{C}_{10}^2{x}^8+\mathrm{\dots }+2^{10}{C}_{10}^{10}$
   Cho x=1, ta được $3^{10}={\left(1+2\right)}^{10}=C_{10}^0+2C_{10}^1+2^2{C}_{10}^2{x}^8+\mathrm{\dots }+2^{10}{C}_{10}^{10}$
   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho S=C158+C159+C1510+…+C1515 . Tính S.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $S=C_{15}^8+C_{15}^9+C_{15}^{10}+\mathrm{\dots }+C_{15}^{15}$ . Tính S.

   A. $S=2^{15}$

   B. $S=2^{14}$

   Đáp án chính xác

   C. $S=2^{13}$

   D. $S=2^{12}$

   Trả lời:

   Sử dụng đẳng thức $C_n^k=C_n^{n-k}$ ta được:
   $S=C_{15}^8+C_{15}^9+C_{15}^{10}+\mathrm{\dots }+C_{15}^{15}=C_{15}^7+C_{15}^6+C_{15}^5+\mathrm{\dots }+C_{15}^0$
    $\Rightarrow 2S=\left(C_{15}^8+C_{15}^9+C_{15}^{10}+\mathrm{\dots }+C_{15}^{15}\right)+\left(C_{15}^7+C_{15}^6+C_{15}^5+\mathrm{\dots }+C_{15}^0\right)=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k=2^{15}$
   $\Rightarrow S=2^{14}$
   Vậy $S=\left(C_{15}^8+C_{15}^9+C_{15}^{10}+\mathrm{\dots }+C_{15}^{15}\right)=2^{14}$
   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====