Cho dãy số (un) có u1=1 và un+1=un=11+n2,∀n∈ℕ*. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng? (1). (un) là dãy số tăng. (2). (un) là dãy số bị chặn dưới. (3). (un) là dãy số bị chặn trên.

Câu hỏi:

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ có ${\mathrm{u}}_1=1$ và $u_{n+1}=u_n=\frac{1}{{\left(1+n\right)}^2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(1). $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ là dãy số tăng.
(2). $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ là dãy số bị chặn dưới.
(3). $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ là dãy số bị chặn trên.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án chính xác

Trả lời:

Chọn D
Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(1+n\right)}^2>0}$ nên dãy số tăng. Phát biểu (1) đúng.
Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1. Phát biểu (2) đúng.
Ta lại có $u_1=1;u_2=u_1+\frac{1}{2^2};u_3=u_2+\frac{1}{3^2};u_n=u_{n-1}+\frac{1}{n^2}$
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được $u_n=u_1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n^2}(*)$
Mặt khác 
$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n\left(n-1\right)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\Rightarrow (*)\iff u_n=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\iff u_n=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{n}<\mathrm{2,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$
Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) biết un=n+5n+2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ biết $u_n=\frac{n+5}{n+2}.$

   Trả lời:

   Ta có $u_n=\frac{n+5}{n+2}=1+\frac{3}{n+2}\Rightarrow u_{n+1}=1+\frac{3}{n+3}$
   Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{3}{n+3}-\frac{3}{n+2}=\frac{-3}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$
   Vậy $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  là dãy số giảm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số un:u1=2un=3un−1+14,∀n≥2 . Xét tính tăng, giảm của dãy số .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $\left(u_n\right):\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_n=\frac{3u_{n-1}+1}{4},\forall n\ge 2\end{array}\right.$ . Xét tính tăng, giảm của dãy số .

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho dãy (an) được xác định bởi a1=1an+1an−an2=1 . Xét tính tăng giảm của dãy số (an).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right)$ được xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}{a}_n-a_n^2=1\end{array}\right.$ . Xét tính tăng giảm của dãy số $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right)$.

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Xét tính tăng, giảm của dãy số un=n+−1nn2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính tăng, giảm của dãy số $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2}$

   Trả lời:

   Ta có $u_1=0;u_2=\frac{1}{2};u_3=\frac{2}{9}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.$
    Dãy số không tăng, không giảm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho dãy số (un) biết un=−12n+3. Xét tính bị chặn dãy số (un) .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ biết $u_n=\frac{-1}{2n+3}$. Xét tính bị chặn dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ .

   Trả lời:

   Ta có
   $2n+3\ge \mathrm{5,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow 0<\frac{1}{2n+3}\le \frac{1}{5},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow -\frac{1}{5}\le \frac{-1}{2n+3}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$
   $\Rightarrow -\frac{1}{5}\le u_n<0.$ Suy ra dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  bị chặn.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====