Tìm các giới hạn sau: a)  lim11.3+13.5+…+12n−12n+1.

Câu hỏi:

Tìm các giới hạn sau:
a)  $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right).$

Trả lời:

a) Do  $\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{2k+1-\left(2k-1\right)}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$
Suy ra  $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}\right)$
$=\lim \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\lim \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}.$
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng  limn2+nn2+1=1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng  $\lim \frac{n^2+n}{n^2+1}=1.$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đặt  $u_n=\frac{n^2+n}{n^2+1}$, ta có thể nhận xét  $\lim \left(u_n-1\right)=\lim \left(\frac{n^2+n}{n^2+1}-1\right)=\lim \left(\frac{n-1}{n^2+1}\right)=0.$
   Do đó $\lim u_n=1$ . Ta được điều phải chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh rằng  lim3n−12n+1=32.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng  $\lim \frac{3n-1}{2n+1}=\frac{3}{2}.$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đặt $u_n=\frac{3n-1}{2n+1},$  ta có nhận xét:
    $\lim \left(u_n-\frac{3}{2}\right)=\lim \left(\frac{3n-1}{2n+1}-\frac{3}{2}\right)=\lim \frac{-5}{2n+1}=0.$
   Do đó $\lim u_n=\frac{3}{2}.$  Ta được điều phải chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh các giới hạn sau: a)  lim−n3n3+1=−1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các giới hạn sau:
   a)  $\lim \left(\frac{-n^3}{n^3+1}\right)=-1.$

   Trả lời:

   hướng dẫn giải
   a) Ta có  $\lim \left(\frac{-n^3}{n^3+1}-\left(-1\right)\right)=\lim \frac{1}{n^3+1}.$
   xét dãy $u_n=\frac{1}{n^3+1}\Rightarrow \left|u_n\right|=\frac{1}{n^3+1}<\frac{1}{n^3}=v_n,\forall n$  và $\lim v_n=\lim \frac{1}{n^3}=0$
    nên $\lim \frac{1}{n^3+1}=0.$  
   Do đó  $\lim \left(\frac{-n^3}{n^3+1}\right)=-1.$
   Ta được điều phải chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh các giới hạn sau: b, limn2+3n+22n2+n=12.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các giới hạn sau:
   b, $\lim \left(\frac{n^2+3n+2}{2n^2+n}\right)=\frac{1}{2}.$

   Trả lời:

   b) Ta có  $\lim \left(\frac{n^2+3n+2}{2n^2+n}-\frac{1}{2}\right)=\lim \frac{5n+4}{2\left(2n^2+n\right)}.$
   Xét dãy  $u_n=\frac{5n+4}{2\left(2n^2+n\right)}$
   $\Rightarrow \left|u_n\right|=\frac{5n+4}{2\left(2n^2+n\right)}<\frac{5n+4}{4n^2}=\frac{5}{4n}+\frac{1}{n^2}=v_n,\forall n.$
   Mà $\lim v_n=\lim \frac{5}{4n}+\lim \frac{1}{n^2}=0$  nên  $\lim \frac{3}{2\left(3n^2+n\right)}=0.$
   Do đó  $\lim \left(\frac{n^2+3n+2}{2n^2+n}\right)=\frac{1}{2}.$
   Ta được điều phải chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng minh có giới hạn:  lim3.3n−sin3n3n=3.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh có giới hạn:  $\lim \left(\frac{{3.3}^n-\sin 3n}{3^n}\right)=3.$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có  $\lim \left(\frac{{3.3}^n-\sin 3n}{3^n}-3\right)=\lim \left(\frac{-\sin 3n}{3^n}\right).$
   Ta lại có $\frac{\left|\sin 3n\right|}{3^n}\le \frac{1}{3^n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n\forall n$  và $\lim {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$ , nên  $\lim \left(\frac{-\sin 3n}{3^n}\right)=0.$
   Do đó $\lim \left(\frac{{3.3}^n-\sin 3n}{3^n}\right)=3.$  Ta được điều cần phải chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====