Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y. Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho khoản X. Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để mô tả hai khoản đầu tư đó và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình vừa tìm được.

Câu hỏi:

Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y. Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho khoản X. Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để mô tả hai khoản đầu tư đó và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình vừa tìm được.

Trả lời:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản X và y (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản Y (x, y ≥ 0).
Vì anh Trung đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y nên ta có x + y ≤ 400.
Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng nên ta có x ≥ 100 và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho X nên ta cũng có y ≥ x hay x – y ≤ 0.
Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.
Ta vẽ bốn đường thẳng:
d₁: x + y = 400 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (400; 0) và (0; 400);
d₂: x = 100 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có tọa độ (100; 0);
d₃: x – y = 0 là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (0; 0) và (1; 1).
Ta xác định từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác ABCD với như hình vẽ sau:

 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình x−2y−2−x+y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ -x+y<3\end{array}\right..$

   A. (1; 0);

   B. (– 1; 0);

   Đáp án chính xác

   C. (– 2; 3);

   D. (0; – 1).

   Trả lời:

   Đáp án đúng là B
   Ta xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\left(1\right)\\ x+3y>-2\left(2\right)\\ -x+y<3\left(3\right)\end{array}\right..$
   +) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 1 – 2.0 < 0 ⇔ 1 < 0 (vô lí);
   (2) ⇔ 1 + 3.0 > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng);
   (3) ⇔ – 1 + 0 < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 1 – 2.0 < 0 ⇔ – 1 < 0 (luôn đúng);
   (2) ⇔ – 1 + 3.0 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 1 + 0 < 3 ⇔ 1 < 3 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (– 1; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 2 và y = 3 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 2 – 2.3 < 0 ⇔ – 8 < 0 (luôn đúng);
   (2) ⇔ – 2 + 3.3 > – 2 ⇔ 7 > – 2 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 2 + 3 < 3 ⇔ 5 < 3 (vô lí).
   Do đó cặp số (– 2; 3) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 0 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 0 – 2.(– 1) < 0 ⇔ 2 < 0 (vô lí);
   (2) ⇔ 0 + 3.(– 1) > – 2 ⇔ – 3 > – 2 (vô lí);
   (3) ⇔ 0 + (– 1) < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (0; – 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   Vậy (– 1; 0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cặp số nào sau đây không là nghiệm của hệ bất phương trình x+y≤22x−3y>−2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cặp số nào sau đây không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 2\\ 2x-3y>-2\end{array}\right..$

   A. (0; 0);

   B. (1; 1);

   C. (– 1; 1);

   Đáp án chính xác

   D. (– 1; – 1).

   Trả lời:

   Đáp án đúng là C
   Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 2\left(1\right)\\ 2x-3y>-2\left(2\right)\end{array}\right..$
   +) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 0 + 0 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.0 – 3.0 > – 2 ⇔ 0 > – 2 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 2 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.1 – 3.1 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.(– 1) – 3.1 > – 2 ⇔ – 5 > – 2 (vô lí).
   Do đó cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = – 1 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ – 1 + (– 1) ≤ 2 ⇔ – 2 ≤ 2 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.(– 1) – 3.(– 1) > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   Vậy cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2x−5y>12x+y>−5x+y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-5y>1\\ 2x+y>-5\\ x+y<-1\end{array}\right.$ là phần mặt phẳng chứa điểm có tọa độ:

   A. (0; 0);

   B. (1; 0);

   C. (0; 2);

   D. (0; – 2).

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là D
   Ta xét hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-5y>1\left(1\right)\\ 2x+y>-5\left(2\right)\\ x+y<-1\left(3\right)\end{array}\right.$.
   +) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.0 – 5.0 > 1 ⇔ 0 > 1 (vô lí);
   (2) ⇔ 2.0 + 0 > – 5 ⇔ 0 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 0 + 0 < – 1 ⇔ 0 < – 1 (vô lí).
   Do đó cặp số (0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.1 – 5.0 > 1 ⇔ 2 > 1 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.1 + 0 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 1 + 0 < – 1 ⇔ 1 < – 1 (vô lí).
   Do đó cặp số (1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 0 và y = 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.0 – 5.2 > 1 ⇔ – 10 > 1 (vô lí);
   (2) ⇔ 2.0 + 2 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 0 + 2 < – 1 ⇔ 2 < – 1 (vô lí).
   Do đó cặp số (0; 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   +) Thay x = 0 và y = – 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:
   (1) ⇔ 2.0 – 5.(– 2) > 1 ⇔ 10 > 1 (luôn đúng);
   (2) ⇔ 2.0 + (– 2) > – 5 ⇔ – 2 > – 5 (luôn đúng);
   (3) ⇔ 0 + (– 2) < – 1 ⇔ – 2 < – 1 (luôn đúng).
   Do đó cặp số (0; – 2 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Miền đa giác ABCD ở Hình 9 là miền nghiệm của hệ bất phương trình:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Miền đa giác ABCD ở Hình 9 là miền nghiệm của hệ bất phương trình:
   

   A. $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 4\\ x+y\ge -1\\ x-y\le 2\\ x-y\ge -2\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   B. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 4\\ x-y\ge -1\\ x+y\le 2\\ x+y\ge -2\end{array}\right.$

   C. $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 1\\ x+y\ge -4\\ x-y\le 2\\ x-y\ge -2\end{array}\right.$

   D. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 1\\ x-y\ge -4\\ x+y\le 2\\ x+y\ge -2\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Đáp án đúng là A
   +) Gọi d₁ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 2; 0) và (0; 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1\iff x-y=-2$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 > – 2.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≥ – 2.
   +) Gọi d₂ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (4; 0) và (0; 4) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\iff x+y=4$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 < 4.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≤ 4.
   +) Gọi d₃ là đường thẳng đi qua hai điểm B và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (2; 0) và (0; – 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-2}=1\iff x-y=2$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 < 2.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≤ 2.
   +) Gọi d₄ là đường thẳng đi qua hai điểm D và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 1; 0) và (0; – 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{-1}=1\iff x+y=-1$.
   Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 > – 1.
   Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≥ – 1.
   Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge -2\\ x+y\le 4\\ x-y\le 2\\ x+y\ge -1\end{array}\right.$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = – x + y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình −2x+y≤2−x+2y≥4x+y≤5.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = – x + y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x+y\le 2\\ -x+2y\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$.

   A. 0

   Đáp án chính xác

   B. 1

   C. 2

   D. 3

   Trả lời:

   Đáp án đúng là B
   Bài toán đã cho trở thành tìm nghiệm (x; y) của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x+y\le 2\\ -x+2y\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$ sao cho biểu thức F = – x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
   Trước hết ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:
   Ta có ba đường thẳng: d₁: – 2x + y = 2; d₂: – x + 2y = 4 và d₃: x + y = 5.
   +) Lấy O(0; 0) có – 2.0 + 0 = 0 < 2. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₁.
   +) Lấy O(0; 0) có – 0 + 2.0 = 0 < 4. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y ≥ 4 là nửa mặt phẳng không chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d₂.
   +) Lấy O(0; 0) có 0 + 0 = 0 < 5. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và có bờ là đường thẳng d₃.
   Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 4) và C(2; 3) như trong hình vẽ sau:
   
   Ta đã chứng minh được biểu thức F = – x + y có giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của tam giác ABC.
   Tại điểm A, với x = 0, y = 2 thì F = – 0 + 2 = 2.
   Tại điểm B, với x = 1, y = 4 thì F = – 1 + 4 = 3.
   Tại điểm C, với x = 2, y = 3 thì F = – 2 + 3 = 1.
   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 1 khi x = 2 và y = 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====