Xét hệ tọa độ Oth trong mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,3) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8m sau 1 giây và đạt độ cao 6m sau 2 giây. Trong khoảng thời gian nào (tính bằng giây) thì quả bóng ở độ cao lớn hơn 5m và nhỏ hơn 7m (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Câu hỏi:

Xét hệ tọa độ Oth trong mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,3) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8m sau 1 giây và đạt độ cao 6m sau 2 giây. Trong khoảng thời gian nào (tính bằng giây) thì quả bóng ở độ cao lớn hơn 5m và nhỏ hơn 7m (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Trả lời:

Lời giải
Ta có hình vẽ mô phỏng quỹ đạo chuyển động của quả bóng như hình vẽ:

Vì quỹ đạo chuyển động là một đường thẳng parabol có dạng h = at² + bt + c (a ≠ 0).
Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,3) nên điểm A thuộc vào parabol, thay t = 0 và h = 0,3 vào đồ thị hàm số ta được: 0,3 = a.0² + b.0 + c ⇔ c = 0,3 (1).
Bóng đạt độ cao h = 8m sau t = 1 giây nên điểm có tọa độ (1; 8) thuộc vào parabol.
Thay t = 1 và h = 8 vào đồ thị hàm số ta được: 8 = a.1² + b.1 + c ⇔ a + b + c = 8 (2).
Bóng đạt độ cao h = 6m sau t = 2 giây nên điểm có tọa độ (2; 6) thuộc vào parabol.
Thay t = 2 và h = 6 vào đồ thị hàm số ta được: 6 = a.2² + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = 6 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0,3\\a + b + c = 8\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0,3\\a = – 4,85\\b = 12,55\end{array} \right.\).
Ta có phương trình parabol cần tìm là: h = – 4,85t² + 12,55t + 0,3.
Để chiều cao lớn hơn 5 thì h > 5 ⇔ – 4,85t² + 12,55t + 0,3 > 5
⇔ – 4,85t² + 12,55t – 4,7 > 0
Xét tam thức bậc hai f(t) = – 4,85t² + 12,55t – 4,7, có a = – 4,85, ∆ = 12,55² – 4.(– 4,85).(– 4,7) = 66,3225 > 0.
Suy ra tam thức có hai nghiệm phân biệt t₁ ≈ 0,454 và t₂ ≈ 2,133.
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta được: f(t) > 0 hay – 4,85t² + 12,55t – 4,7 > 0 khi t ∈ (0,454; 2,133).
Để chiều cao nhỏ hơn 7 thì h < 7 ⇔ – 4,85t² + 12,55t + 0,3 < 7
⇔ – 4,85t² + 12,55t – 6,7 < 0
Xét tam thức bậc hai g(t) = – 4,85t² + 12,55t – 6,7, có a = – 4,85, ∆ = 12,55² – 4.(– 4,85).(– 6,7) = 27,5225 > 0.
Suy ra tam thức có hai nghiệm phân biệt t₁ ≈ 0,753 và t₂ ≈ 1,835.
Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta được: g(t) < 0 hay – 4,85t² + 12,55t – 6,7 < 0 khi t ∈ (– ∞; 0,753) ∪ (1,835; +∞).
Để quả bóng ở độ cao lớn hơn 5m và nhỏ hơn 7m thì t phải thuộc vào giao của hai tập (0,454; 2,133) hoặc (– ∞; 0,753) ∪ (1,835; +∞).
Ta có (0,454; 2,133) (– ∞; 0,753) ∪ (1,835; +∞) = (0,454; 0,753) ∪ (1,835; 2,133).
Vậy để quả bóng ở độ cao lớn hơn 5m và nhỏ hơn 7m thì thuộc khoảng 0,454 giây đến 0,753 giây hoặc 1,835 giây đến 2,133 giây.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong các bất phương tình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất một ẩn? A. – 2×2 + 3x < 0; B. 0,5y2 – \(\sqrt 3 \)(y – 2) ≤ 0; C. x2 – 2xy – 3 ≥ 0; D. \(\sqrt 2 \)x2 – 3 ≥ 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các bất phương tình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
   A. – 2x² + 3x < 0;
   B. 0,5y² – \(\sqrt 3 \)(y – 2) ≤ 0;
   C. x² – 2xy – 3 ≥ 0;
   D. \(\sqrt 2 \)x² – 3 ≥ 0.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là C
   Xét bất phương trình – 2x² + 3x < 0 là bất phương trình bậc hai một ẩn x. Do đó A sai.
   Xét bất phương trình 0,5y² – \(\sqrt 3 \)(y – 2) ≤ 0 ⇔ 0,5y² – \(\sqrt 3 \)y + 2\(\sqrt 3 \) ≤ 0 là bất phương trình bậc hai một ẩn y. Do đó B sai.
   Xét bất phương trình x² – 2xy – 3 ≥ 0 là bất phương trình bậc hai nhưng lại có hai ẩn x và y. Do đó C đúng.
   Xét bất phương trình\(\sqrt 2 \)x² – 3 ≥ 0 là bất phương trình bậc hai một ẩn x. Do đó D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tập nghiệm của bất phương trình – x2 + 3x + 18 ≥ 0 là: A. [ – 3; 6]; B. (– 3; 6); C. (– ∞; – 3) ∪ (6; +∞); D. (– ∞; – 3] ∪ [6; +∞).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình – x² + 3x + 18 ≥ 0 là:
   A. [ – 3; 6];
   B. (– 3; 6);
   C. (– ∞; – 3) ∪ (6; +∞);
   D. (– ∞; – 3] ∪ [6; +∞).

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là A
   Xét f(x) = – x² + 3x + 18 là một tam thức bậc hai có a = – 1 < 0 và ∆ = 3² – 4.(– 1).18 = 81 > 0.
   Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 3 và x₂ = 6.
   Theo định lí về dấu tam thức bậc hai, ta có:
   f(x) > 0 khi x ∈ (– 3; 6);
   f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; – 3) ∪ (6; +∞);
   Suy ra f(x) ≥ 0 khi x ∈ [– 3; 6].
   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [– 3; 6].

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong mỗi Hình 18a, 18b, 18c, hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong mỗi Hình 18a, 18b, 18c, hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.
   

   Trả lời:

   Lời giải
   +) Hình 18a):
   Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:
   Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành với mọi x ∈ ℝ.
   Do đó:
   f(x) < 0 và f(x) ≤ 0 luôn đúng với mọi x ∈ ℝ.
   f(x) > 0; f(x) ≥ 0 và vô nghiệm.
   Vậy tập nghiệm của các bất phương trình f(x) > 0 và f(x) ≥ 0 là \(\emptyset \), tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 và f(x) ≤ 0 là ℝ.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong mỗi Hình 18b, 18c, hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong mỗi Hình 18b, 18c, hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.
   

   Trả lời:

   Lời giải
   +) Hình 18b):
   Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:
   Với x ∈ (1; 3) hàm số nằm trên trục hoành hay f(x) > 0.
   Với x < 1 hoặc x > 3 đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay f(x) < 0.
   Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại x = 1 hoặc x = 3.
   Do đó:
   f(x) > 0 khi x ∈ (1; 3).
   f(x) < 0 khi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (3; +∞).
   f(x) ≥ 0 khi x ∈ [1; 3].
   f(x) ≤ 0 khi x ∈ (– ∞; 1] ∪ [3; +∞).
   Vậy tập nghiệm của các bất phương trình f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0 lần lượt là (1; 3); (– ∞; 1) ∪ (3; +∞); [1; 3]; (– ∞; 1] ∪ [3; +∞).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong Hình 18c, hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong Hình 18c, hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.
   

   Trả lời:

   Lời giải
   +) Hình 18c):
   Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:
   Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại x = 2.
   Với x ≠ 2 hàm số nằm dưới trục hoành hay f(x) < 0.
   Do đó:
   f(x) > 0 vô nghiệm.
   f(x) < 0 khi x ∈ ℝ \ {2}.
   f(x) ≥ 0 khi x = 2.
   f(x) ≤ 0 khi x ∈ ℝ.
   Vậy tập nghiệm của các bất phương trình f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0 lần lượt là \(\emptyset \); ℝ \ {2}; {2}; ℝ.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====