Tìm các giới hạn sau: b, lim1−1221−132…1−1n2.

Câu hỏi:

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim \left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{\dots }\left(1-\frac{1}{n^2}\right).$

Trả lời:

b) Ta có  $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\mathrm{\dots }\left(1-\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$
 $=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{3}.\frac{3}{4}.\frac{5}{4}\mathrm{\dots }\frac{n-2}{n-1}.\frac{n}{n-1}.\frac{n-1}{n}.\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}.$
Suy ra $\lim \left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{\dots }\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{n+1}{2n}=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng phương trình x2020+3×5−1=0 có nghiệm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng phương trình $x^{2020}+3x^5-1=0$có nghiệm.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có hàm số $f\left(x\right)=x^{2020}+3x^5-1$  liên tục trên R và $f\left(0\right).f\left(1\right)=-3<0$
   Suy ra phương trình f(x) =0  có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1) 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh phương trình x2sinx+xcosx+1=0  có ít nhất một nghiệm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh phương trình$x^2\sin x+x\cos x+1=0$  có ít nhất một nghiệm.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta có hàm số $f\left(x\right)=x^2\sin x+x\cos x+1$liên tục trên R và $f\left(0\right).f\left(\pi \right)=-\pi +1<0$
   Suy ra phương trình $f\left(x\right)=0$  có ít nhất một nghiệm thuộc $\left(0;\pi \right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng phương trình x3+2x=4+33−2x  có đúng một nghiệm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng phương trình $x^3+2x=4+3\sqrt{3-2x}$  có đúng một nghiệm.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Điều kiện xác định: $x\le \frac{3}{2}$
   Ta có $x^3+2x=4+3\sqrt{3-2x}\iff x^3+2x-3\sqrt{3-2x}-4=0$
   Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3+2x-3\sqrt{3-2x}-4$  liên tục trên $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right]$và $f\left(0\right)=-4-3\sqrt{3}<0,f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{19}{8}>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\frac{3}{2}\right)<0$

   Do đó phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm
   Giả sử phương trình f(x)= 0 có  hai nghiệm $x_1;x_2$
   Khi đó $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=0$
   $\iff \left(x_1^3-x_2^3\right)+2\left(x_1-x_2\right)-3\left(\sqrt{3-2x_1}-\sqrt{3-2x_2}\right)=0$
   $\iff \left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2+2+\frac{6}{\sqrt{3-2x_1}+\sqrt{3-2x_2}}\right)⏟B=0$
   $\iff x_1=x_2$(vì$B={\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)}^2+\frac{3x_2^2}{4}+4+\frac{6}{\sqrt{3-2x_1}+\sqrt{3-2x_2}}>0$ )
   Vậy phương trình có đúng một nghiệm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng phương trình  x5+2×3+15×2+14x+2=3×2+x+1có đúng năm nghiệm phân biệt.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng phương trình  $\sqrt{x^5+2x^3+15x^2+14x+2}=3x^2+x+1$có đúng năm nghiệm phân biệt.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Phương trình đã cho tương đương với $x^5+2x^3+15x^2+14x+2={\left(3x^2+x+1\right)}^2$
   $\iff x^5-9x^4-4x^3+18x^2+12x+1=0\left(1\right)$

   Xét hàm số $f\left(x\right){=}^5-9x^4-4x^3+18x^2+12x+1$  liên tục trên R
   Ta có: $f\left(-2\right)=-95<0,f\left(-1\right)=1>0,f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{19}{32}<0$
   $f\left(0\right)=1>0,f\left(2\right)=-47,f\left(10\right)=7921>0$

   Do đó phương trình f(x)  có ít nhất năm nghiệm thuộc các khoảng
   $\left(-2;-1\right),\left(-1;-\frac{1}{2}\right),\left(-\frac{1}{2};0\right),\left(0;2\right),\left(2;10\right)$

   Mặt khác f(x)  là đa thức bậc năm nên có tối đa năm nghiệm.
   Vậy phương trình đã cho có đúng năm nghiệm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm các giới hạn sau: b, lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các giới hạn sau:
   b, $\lim {\left(2n+1\right)}^2\left(\frac{3}{n^2+2n}-\frac{1}{n^2+3n-1}\right).$

   Trả lời:

   $\lim {\left(2n+1\right)}^2\left(\frac{3}{n^2+2n}-\frac{1}{n^2+3n-1}\right)$
   $=\lim \frac{3{\left(2n+1\right)}^2}{n^2+2n}-\lim \frac{{\left(2n+1\right)}^2}{n^2+3n-1}.$

   Mà 
   Ÿ  $\lim \frac{3{\left(2n+1\right)}^2}{n^2+2n}=\lim \frac{3{\left(2+\frac{1}{n}\right)}^2}{1+\frac{2}{n}}=\frac{{3.2}^2}{1}=12.$
   Ÿ  $\lim \frac{{\left(2n+1\right)}^2}{n^2+3n-1}=\frac{{\left(2+\frac{1}{n}\right)}^2}{1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{2^2}{1}=4.$
   Nên
   Ÿ  $\lim {\left(2n+1\right)}^2\left(\frac{3}{n^2+2n}-\frac{1}{n^2+3n-1}\right)=12-4=8.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====