Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn \(\frac{{{\rm{AA}}’}}{{AB}} = \frac{{BB’}}{{BC}} = \frac{{CC’}}{{CA}}\). Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn \(\frac{{{\rm{AA}}’}}{{AB}} = \frac{{BB’}}{{BC}} = \frac{{CC’}}{{CA}}\). Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Trả lời:

Lời giải
Đặt \(\frac{{{\rm{AA}}’}}{{AB}} = \frac{{BB’}}{{BC}} = \frac{{CC’}}{{CA}} = t\) (t > 0)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}AA’ = tAB\\BB’ = tBC\\CC’ = tCA\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA’} = t\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {BB’} = t\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {CC’} = t\overrightarrow {CA} \end{array} \right.\) (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\overrightarrow {{\rm{AA}}’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = t\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
⇔ \(\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {{\rm{GA}}’} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GB’} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GC’} = t\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
⇔ \(\left( {\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}’} + \overrightarrow {GB’} + \overrightarrow {GC’} } \right) = t.\overrightarrow {AA} \)
⇔ \( – \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}’} + \overrightarrow {GB’} + \overrightarrow {GC’} } \right) = t.\overrightarrow 0 \)
⇔ \(\overrightarrow {{\rm{GA}}’} + \overrightarrow {GB’} + \overrightarrow {GC’} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác A’B’C’.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OA} \). B. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} \). C. \(\overrightarrow {AB} = – 2\overrightarrow {OB} \). D. \(\overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AB} \).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OA} \).
   B. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} \).
   C. \(\overrightarrow {AB} = – 2\overrightarrow {OB} \).
   D. \(\overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AB} \).

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là B
   Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB = \(\frac{1}{2}\)AB hay AB = 2OA = 2OB.
   Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {OA} \) là hai vectơ ngược hướng nên \(\overrightarrow {AB} = – 2\overrightarrow {OA} \). Do đó A và D sai.
   Ta lại có: \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {OB} \) là hai vectơ cùng hướng nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} \). Do đó B đúng và C sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AM} = – 3\overrightarrow {GM} \). B. \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {GM} \). C. \(\overrightarrow {AM} = – \frac{3}{2}\overrightarrow {GM} \). D. \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   A. \(\overrightarrow {AM} = – 3\overrightarrow {GM} \).
   B. \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {GM} \).
   C. \(\overrightarrow {AM} = – \frac{3}{2}\overrightarrow {GM} \).
   D. \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \).

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là D
   Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên ta có:
   AG = \(\frac{2}{3}\)AM hay AM = 3GM
   Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {GM} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \).
   Vậy chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho a→≠0→. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) cùng phương. B. \(\overrightarrow a \) và \( – 4\overrightarrow a \) cùng phương. C. \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) không cùng hướng. D. \(\overrightarrow a \) và \( – 4\overrightarrow a \) ngược hướng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
   A. \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) cùng phương.
   B. \(\overrightarrow a \) và \( – 4\overrightarrow a \) cùng phương.
   C. \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) không cùng hướng.
   D. \(\overrightarrow a \) và \( – 4\overrightarrow a \) ngược hướng.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là C
   Vì 4 > 0 nên \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) cùng hướng nên \(\overrightarrow a \) và \(4\overrightarrow a \) cùng phương. Do đó A đúng, C sai.
   Vì – 4 < 0 nên \(\overrightarrow a \) và \( – 4\overrightarrow a \) ngược hướng nên \(\overrightarrow a \) và \( – 4\overrightarrow a \) cùng phương. Do đó B, D đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \). B. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \). C. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} \). D. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   A. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).
   B. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).
   C. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} \).
   D. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là A
   Vì điểm C nằm giữa hai điểm A, B nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \) cùng hướng.
   Do đó \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).
   Vậy chọn A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đoạn thẳng BC và điểm A nằm giữa hai điểm B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \). B. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \). C. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} \). D. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đoạn thẳng BC và điểm A nằm giữa hai điểm B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   A. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).
   B. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).
   C. \(\overrightarrow {AC} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} \).
   D. \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là B
   Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và C nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \) ngược hướng.
   Do đó \(\overrightarrow {AC} = – \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB} \).
   Vậy chọn B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====