Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng của C qua D. Hãy tính độ dài MN→.

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng của C qua D. Hãy tính độ dài $\overrightarrow{MN}$.

A. $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{a\sqrt{15}}{2}$

B. $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{a\sqrt{5}}{3}$

C. $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{a\sqrt{13}}{2}$

Đáp án chính xác

D. $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{a\sqrt{5}}{4}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C

Vì M là trung điểm AB nên ta có AM = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.
Tam giác MAD vuông tại A: $D{M}^2=A{M}^2+A{D}^2$ (Định lý Pytago)
$\iff D{M}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{5a^2}{4}$
$\Rightarrow DM=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.
Ta có NP // AD, mà AD ⊥ CN (vì ABCD là hình vuông)
Do đó NP ⊥ CN hay NP ⊥ ND.
Suy ra $\widehat{PND}=90°$  (1).
Vì AD ⊥ ND nên $\widehat{ADN}=90°$  (2).
Tương tự, AD ⊥ AP nên $\widehat{PAD}=90°$ (3).
Từ (1) (2) (3), ta suy ra tứ giác ADNP là hình chữ nhật (4).
Vì N là điểm đối xứng của C qua D nên ND = CD = a.
Mà AD = a (do ABCD là hình vuông cạnh a).
Nên ND = AD = a (5).

Từ (4) (5), ta suy ra ADNP là hình vuông.
Do đó AP = AD = a.
Ta có PM = PA + AM = a + $\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$.
Tam giác NPM vuông tại P: : $M{N}^2=N{P}^2+P{M}^2$ (Định lý Pytago)
$\iff M{N}^2=a^2+{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2=\frac{13a^2}{4}$
$\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$.
Suy ra $\left|\overrightarrow{MN}\right|=MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$.
Vậy ta chọn đáp án C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng MN→+PQ→+RN→+NP→+QR→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$.

   A. $\overrightarrow{MR}$

   B. $\overrightarrow{MN}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{PR}$

   D. $\overrightarrow{MP}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Ta có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}\right)+\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\right)+\overrightarrow{RN}$.
   $=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MN}$.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ MP→+NP→ bằng vectơ nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}$ bằng vectơ nào?

   A. $\overrightarrow{AP}$

   B. $\overrightarrow{BP}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{MN}$

   D. $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NB}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   
   Tam giác ABC có N, P lần lượt là trung điểm BC và AC.
   Do đó NP là đường trung bình của tam giác ABC.
   Suy ra NP = BM (M là trung điểm AB).
   Mà $\overrightarrow{NP},\overrightarrow{BM}$ cùng hướng.
   Do đó $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BM}$.
   Ta có $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BP}$.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

   A. $\overrightarrow{MN}\left(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}\right)=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}$

   B. $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{MN}$

   D. $\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ}\right)\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}\right)=M{N}^2-P{Q}^2$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.
   Đáp án B sai. Sửa lại: $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$.
   Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.
   Đáp án D đúng theo bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm BC. Tính AM→.BC→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm BC. Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$.

   A. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{b^2-c^2}{2}$

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2}{2}$

   C. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2+a^2}{2}$

   D. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: A
   Vì M là trung điểm BC nên ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$.
   Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$ 
   $=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}$.
   Vậy ta chọn đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Nếu AB→=AC→ thì
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ thì

   A. Tam giác ABC là tam giác cân;

   B. Tam giác ABC là tam giác đều; 

   C. A là trung điểm của đoạn thẳng BC;  

   D. Điểm B trùng với điểm C.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: D
   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow$A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B, C nằm cùng phía so với A.
   Mà AB = AC nên B ≡ C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====