Cho dãy số (un) biết un=12+122+132+…+1n2. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Câu hỏi:

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $u_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n^2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Dãy số bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn.

Đáp án chính xác

D. Không bị chặn

Trả lời:

Ta có: $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{\left(k-1\right)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\ge 2$Suy ra  $u_n<\frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\mathrm{\dots }+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}<\frac{3}{2}$$\Rightarrow 0<u_n<\frac{3}{2},\forall n\in \mathbb{N}*$Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn Chọn đáp án C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: 1.4+2.7+⋅⋅⋅+n3n+1=nn+12   (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +n\left(3n+1\right)=n{\left(n+1\right)}^2$   (1)

   Trả lời:

   * Với n =  1:  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = $1.{( 1+1)}^2$ = 4. Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)=k{\left(k+1\right)}^2\left(2\right)$Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$Thật vậy $\underset{=k{\left(k+1\right)}^2}{\underbrace{1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)}}+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=k{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)$ $=(k+1).\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}[}k.(k+1)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}3k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4]=(k\text{}+\text{}1).(k^2+\text{}4k+\text{}4)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$(đpcm).Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Với mỗi số nguyên dương n, gọi un  = 9n  – 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với mỗi số nguyên dương n, gọi $u_n = 9^n – 1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

   Trả lời:

   * Ta có $u_1=9^1-1=8$ chia hết cho 8 (đúng với n = 1).* Giả sử $u_k=9^k-1$ chia hết cho 8. Ta cần chứng minh $u_{k+1}=9^{k+1}-1$ chia hết cho 8.Thật vậy, ta có $u_{k+1}=9^{k+1}-1={9.9}^k-1=9\left(9^k-1\right)+8=9u_k+8$. Vì $9u_k$ và 8 đều chia hết cho 8, nên $u_{k+1}$ cũng chia hết cho 8.Vậy với mọi số nguyên dương n thì $u_n$ chia hết cho 8.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có: 2n +1 &gt;  2n + 3   (*)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta luôn có: $2^{n +1} > 2n + 3$   (*)

   Trả lời:

   * Với n = 2 ta có $2^{2+1}>2.2+3\iff 8>7$ (đúng). Vậy (*) đúng với n= 2 . * Giả sử với n = k $,k\ge 2$ thì (*) đúng, có nghĩa ta có: $2^{k+1} > 2k + 3$(1).* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:$2^{k+2}>2(k+1)+3$Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: ${2.2}^{k+1}>2\left(2k+3\right)\iff 2^{k+2}>4k+6>2k+5$.  ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 ) Hay $2^{k+2} > 2 (k+1)+ 3$Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương $\ge 2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau u1=3un+1=un+2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo n của dãy số sau $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{array}\right.$

   A. $u_n = 3n + n^2 –1$

   B. $u_n = 2n + 1$

   Đáp án chính xác

   C. $u_n = 4n –10$

   D. Đáp án khác

   Trả lời:

   Ta có: $u_2=u_1+2=3+2=5.$ $u_3=u_2+2=5+2=7.$ $u_4=u_3+2=7+2=9.$ $u_5=u_4+2=9+2=11.$ Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:$u_n=2n+1\forall n\ge 1\left(\ast \right)$ Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*)  đúng.Với n =1 ; $u_1 =2.1 +1 = 3$ (đúng). Vậy (*) đúng với n =1Giả sử (*)  đúng với n =k.  Có nghĩa ta có: $u_k = 2k +1$ (2)Ta cần chứng minh (*)  đúng với n = k+1 – có nghĩa là ta phải chứng minh:$u_{k+1}$ = 2(k+1)+1= 2k + 3 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:$u_{k+1}$ = $u_k$ +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3 Vậy (*) đúng khi n = k+1 .Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) biết: un=  1n−  2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính tăng giảm của dãy số $\left(u_n\right)$ biết: $u_n=\frac{1}{n}-2$

   A. Dãy số tăng

   B. Dãy số giảm

   Đáp án chính xác

   C. Dãy số không tăng không giảm

   C. Dãy số không tăng không giảm

   Trả lời:

   Xét hiệu:   $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-2-\left(\frac{1}{n}-2\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}<0\forall n\in \mathbb{N}*$Kết luận dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm. Chọn đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====