Cho x là số thực khác 0 và x+1x là số nguyên. Chứng minh rằng: xn+1xn cũng là số nguyên với ∀n∈N*

Câu hỏi:

Cho x là số thực khác 0 và $\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}$ cũng là số nguyên với $\forall \mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

Trả lời:

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. So sánh an+bn2 và a+b2n, với a≥0;b≥0,n∈N* ta được:
   
   

   Câu hỏi:
   

   So sánh $\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}{2}$ và ${\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}$, với $\text{a≥0;b≥0,n∈N*}$ ta được:

   A. $\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}{2}<{\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}$

   B. $\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}{2}\ge {\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}{2}={\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}$

   D. Không so sánh được
    

   Trả lời:

   Đáp án Bdo đó mệnh đề đúng đến n = k + 1Vậy mệnh đề đúng với mọi n, a, b thỏa mãn điều kiện bài toán.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:

   A. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}>2\sqrt{\mathrm{n}}$

   B. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}>3\sqrt{\mathrm{n}}$

   C. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}<2\sqrt{\mathrm{n}}$

   Đáp án chính xác

   D. $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}>4\sqrt{5}$

   Trả lời:

   Đáp án CKhi n = 1 ta có $\frac{1}{\sqrt{1}}=1<2$ ⇒ Loại đáp án A, B, D.Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.Bất đẳng thức đúng với n = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng: 13+29+327+….+n3n=34−2n+34.3n (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+.\dots +\frac{\mathrm{n}}{3^{\mathrm{n}}}$$=\frac{3}{4}-\frac{2\mathrm{n}+3}{4{.3}^{\mathrm{n}}}$ (1)

   Trả lời:

   Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 32n+1+2n+2 chia hết cho 7
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì $3^{2\mathrm{n}+1}+2^{\mathrm{n}+2}$ chia hết cho 7

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 4.32n+2+32n−36 chia hết cho 32
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì $4{.3}^{2\mathrm{n}+2}+32\mathrm{n}-36$ chia hết cho 32

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====