Biết rằng limx→−32(x3+33)3−x2=a3+b. Tính a2+b2

Câu hỏi:

Biết rằng $\underset{x\to -\sqrt{3}}{\lim }\frac{2(x^3+3\sqrt{3})}{3-x^2}=a\sqrt{3}+b$. Tính $a^2+b^2$

A. 9

Đáp án chính xác

B. 25

C. 5

D. 13

Trả lời:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\sqrt{3}}{\lim }\frac{2(x^3+3\sqrt{3})}{3-x^2}\\ =\underset{x\to -\sqrt{3}}{\lim }\frac{2(x+\sqrt{3})(x^2-\sqrt{3}x+3)}{\left(\sqrt{3}-x\right)\left(\sqrt{3}+x\right)}\\ =\underset{x\to -\sqrt{3}}{\lim }\frac{2(x^2-\sqrt{3}x+3)}{\sqrt{3}-x}\\ =\frac{2\left[{\left(-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{3}.(-\sqrt{3})+3\right]}{\sqrt{3}-(-\sqrt{3})}=\frac{18}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=0\end{array}\right.\Rightarrow a^2+b^2=9\end{array}$Đáp án cần chọn là: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Biết rằng a+b=4;limx→1a1−x−b1−x3 hữu hạn. Tính giới hạn L=limx→1b1−x3−a1−x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết rằng $a+b=4;\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{a}{1-x}-\frac{b}{1-x^3}\right)$ hữu hạn. Tính giới hạn $L=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{b}{1-x^3}-\frac{a}{1-x}\right)$

   A. -1

   B. 2

   C. 1

   Đáp án chính xác

   D. -2

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số f(x)=x2+2x+4−x2−2x+4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x+4}-\sqrt{x^2-2x+4}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A. Giới hạn của f(x) khi x→+∞ là 0

   B. Giới hạn của f(x) khi x→-∞ là 2

   C. Giới hạn của f(x) khi x→+∞ là 2

   D. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x+4}-\sqrt{x^2-2x+4}$Ta có$\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2x+4}-\sqrt{x^2-2x+4})\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{x^2+2x+4}-\sqrt{x^2-2x+4}\right)\left(\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}\right)}{\left(\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}\right)}\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\left(x^2+2x+4\right)-\left(x^2-2x+4\right)}{\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}}\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x}{x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}+x\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}}\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}}=2\end{array}$$\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+2x+4}-\sqrt{x^2-2x+4}\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{x^2+2x+4}-\sqrt{x^2-2x+4}\right)\left(\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}\right)}{\left(\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}\right)}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(x^2+2x+4\right)-\left(x^2-2x+4\right)}{\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x}{\sqrt{x^2+2x+4}+\sqrt{x^2-2x+4}}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}-x\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{-\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}}=\frac{4}{-1-1}=-2\end{array}$Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị của giới hạn limx→+∞x2+x−x3−x23
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị của giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2}\right)$

   A. $\frac{5}{6}$

   Đáp án chính xác

   B. $+\infty$

   C. -1

   D. $–\infty$ 

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt[3]{x^3-x^2}\right)\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-x+x-\sqrt[3]{x^3-x^2}\right)\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}+\frac{x^2}{x^2+x\sqrt[3]{x^3-x^2}+\sqrt[3]{{\left(x^3-x^2\right)}^2}}\right)\\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{1+\text{}\frac{1}{x}}+1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{1+\text{}\sqrt[3]{1-\frac{1}{x}}+\text{}\sqrt[3]{{(1-\frac{1}{x})}^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}}\right)\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\end{array}$Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính limx→−∞x3x+22×3+x2−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\sqrt{\frac{3x+2}{2x^3+x^2-1}}$

   A. $-\sqrt{\frac{3}{2}}$

   Đáp án chính xác

   B. $\sqrt{\frac{3}{2}}$

   C. $\frac{3}{2}$

   D. $–\frac{3}{2}$ 

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }x\sqrt{\frac{3x+2}{2x^3+x^2-1}}\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\sqrt{\frac{x^2(3x+2)}{2x^3+x^2-1}}\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\sqrt{\frac{3x^3+2x^2)}{2x^3+x^2-1}}\right)\\ =\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\sqrt{\frac{3+\frac{2}{x}}{2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}}\right)=-\sqrt{\frac{3}{2}}\end{array}$Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tính limx→01+2x.1+3×3.1+4×4−1x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}$

   A. $\frac{23}{2}$

   B. 24

   C. $\frac{3}{2}$ 

   D. 3

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1\\ =\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}+\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1\\ =\left(\sqrt{1+2x}-1\right)+\sqrt{1+2x}\left(\sqrt[3]{1+3x}-1\right)+\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\left(\sqrt[4]{1+4x}-1\right)\\ \Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\right)+\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x}.\frac{\sqrt[3]{1+3x}-1}{x}\right)+\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\frac{\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}\right)\end{array}$Tính $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\left(\sqrt{1+2x}-1\right)\left(\sqrt{1+2x}+1\right)}{x\left(\sqrt{1+2x}+1\right)}\right)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+2x}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}=\frac{2}{1+1}=1\end{array}$$\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x.}\frac{\left(\sqrt[3]{1+3x}-1\right)}{x}\right)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x.}\frac{\left(\sqrt[3]{1+3x}-1\right)\left[{\left(\sqrt[3]{1+3x}\right)}^2+\sqrt[3]{1+3x}+1\right]}{x\left[{\left(\sqrt[3]{1+3x}\right)}^2+\sqrt[3]{1+3x}+1\right]}\right)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x.}\frac{3x}{x\left[{\left(\sqrt[3]{1+3x}\right)}^2+\sqrt[3]{1+3x}+1\right]}\right)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{3\sqrt{1+2x}}{\left[{\left(\sqrt[3]{1+3x}\right)}^2+\sqrt[3]{1+3x}+1\right]}\right)=\frac{3.1}{1+1+1}=1\end{array}$$\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\frac{\left(\sqrt[4]{1+4x}-1\right)}{x}\right)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\frac{\left(\sqrt[4]{1+4x}-1\right)\left[{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^3+{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^2+\sqrt[4]{1+4x}+1\right]}{x\left[{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^3+{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^2+\sqrt[4]{1+4x}+1\right]}\right)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\frac{4x}{x\left[{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^3+{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^2+\sqrt[4]{1+4x}+1\right]}\right)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.}{{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^3+{\left(\sqrt[4]{1+4x}\right)}^2+\sqrt[4]{1+4x}+1}\\ =\frac{\mathrm{4.1.1}}{1+1+1+1}=1\end{array}$Vậy $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}.\sqrt[3]{1+3x}.\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}=1+1+1=3$Đáp án cần chọn là: D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====