Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Tổng và hiệu của hai vecto

1. Tổng của hai vecto

Xác định A là điểm đầu và C là điểm cuối, dùng đoạn thẳng có hướng nối 2 điểm trên.

Ta thấy rô bốt đi từ A đến B, sau đó đi từ B đến C, vậy cả 2 lần di chuyển thì ta thấy điểm cuất phát là A và điểm kết thúc là C.

Suy ra vectơ biểu diễn sự dịch chuyển của rô bốt sau hai lần dịch chuyển là vectơ $\vec{A C}$

Tìm vectơ bằng với vectơ $\vec{A D}$ , sau đó áp dụng quy tắc ba điểm

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\vec{A D} = \vec{B C}$ $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (đpcm)

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc ba điểm, tìm vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Bước 2: Xác định hướng của vectơ vừa tìm được

Bước 3: So sánh hướng của 2 vectơ

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{a} = \vec{A C} + \vec{C B} = \vec{A B}$ ; $\vec{b} = \vec{D B} + \vec{B C} = \vec{D C}$

Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ $\vec{A B}$ và vectơ $\vec{D C}$ đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ $\vec{A B}$ và vectơ $\vec{D C}$ cùng hướng

Vậy hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Thực hành 2 trang 89 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài là a. Tính độ dài vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC

Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm tổng vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$

Bước 3: Tìm độ dài vectơ tổng.

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABDC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào ABDC ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D} \Rightarrow | \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A D} | = A D$

Gọi O là giao điểm của AD và BC, ta có:

$A O = \sqrt{A B^{2} - B O^{2}} = \sqrt{A B^{2} - {(\frac{1}{2} B C)}^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$A D = 2 A O = a \sqrt{3} \Rightarrow | \vec{A B} + \vec{A C} | = a \sqrt{3}$

Vậy độ dài vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$ là $a \sqrt{3}$

Giải toán lớp 10 trang 90 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vận dụng 1 trang 90 Toán lớp 10: Một máy bay có vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm để tìm vectơ tổng

Bước 2: Tìm độ dài vectơ tổng vừa tìm được.

Lời giải:

Gọi vectơ chỉ vận tốc của máy bay là vectơ $\vec{A B}$ và vectơ chỉ vận tốc của gió là vectơ $\vec{B C}$ .

Ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Áp dụng định lý Pitago ta có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{150^{2} + 30^{2}} = 30 \sqrt{26}$

Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên là $30 \sqrt{26}$ km/h

Vận dụng 2 trang 90 Toán lớp 10: Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\vec{F_{1}} = \vec{O A}, \vec{F_{2}} = \vec{O B}$ có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là $60^{\circ}$ . Tìm độ lớn của vectơ hợp lực $\vec{F}$ là tổng của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựng hình bình hành AOBC

Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm tổng lực

Bước 3: Xác định độ lớn của vectơ tổng.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ ;

$A C = O B = 600$ ; $\hat{A O B} = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{O A C} = 120^{\circ}$ (hai góc bù nhau trong hình bình hành).

Áp dụng định lý cos ta có:

$O C = \sqrt{O A^{2} + A C^{2} - 2 O A . A C . \cos (120^{\circ})}$

$= \sqrt{400^{2} + 600^{2} - 2.400.600. \cos (120^{\circ})} ≃ 871, 78$ N

Vậy độ lớn của vectơ hợp lực $\vec{F}$ gần bằng 871,78 N

2. Tính chất của phép cộng các vecto

HĐ Khám phá 2 trang 90 Toán lớp 10: Cho 3 vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ được biểu diễn như hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh kết quả tìm được:

a) $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = ?$

$\vec{b} + \vec{a} = \vec{A E} + \vec{E C} = ?$

b) $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + \vec{C D} = \vec{A C} + \vec{C D} = ?$

$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{A B} + (\vec{B C} + \vec{C D}) = \vec{A B} + \vec{B D} = ?$

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ;

Bước 2: So sánh các vectơ vừa tìm được

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ ; $\vec{b} + \vec{a} = \vec{A E} + \vec{E C} = \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + \vec{C D} = \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$

$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{A B} + (\vec{B C} + \vec{C D}) = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D}$

$\Rightarrow (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Giải toán lớp 10 trang 91 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 91 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:

a) $\vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B};$

b) $\vec{a} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A} .$

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ $\vec{0}$ tìm tổng các vectơ

Bước 2: Tính độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ $\vec{A B}$ là \(\left|

Lời giải:

a) $\begin{array}{l} \vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B} = (\vec{A C} + \vec{C B}) + \vec{B D} \\ = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D} \Rightarrow | \vec{A D} | = A D = 1 \end{array}$

b) $\begin{array}{l} \vec{a} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{A D} + \vec{D A}) \\ = \vec{A C} + \vec{A A} = \vec{A C} + \vec{0} = \vec{A C} \end{array}$

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow | \vec{A C} | = \sqrt{2}$

3. Hiệu của hai vecto

HĐ Khám phá 3 trang 91 Toán lớp 10: Tìm hợp lực của hai lực đối nhau $\vec{F}$ và $- \vec{F}$ (hình 11)

Lời giải:

$\vec{F} + (- \vec{F}) = \vec{F} - \vec{F} = \vec{0}$

Giải toán lớp 10 trang 92 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 92 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = \vec{O B} - \vec{O D};$

b) $\vec{b} = (\vec{O C} - \vec{O A}) + (\vec{D B} - \vec{D C})$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Thay thế vectơ bằng nhau rồi tìm tổng.

Bước 2: Tìm độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ $\vec{A B}$ là $| \vec{A B} | = A B$ .

Lời giải:

Ta có: $A B = B C = C D = D A = 1;$

$A C = B D = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$

a) $\vec{a} = \vec{O B} - \vec{O D} = \vec{O B} + \vec{D O} = (\vec{D O} + \vec{O B}) = \vec{D B}$

$\Rightarrow | \vec{a} | = | \vec{D B} | = D B = \sqrt{2}$

b) $\vec{b} = (\vec{O C} - \vec{O A}) + (\vec{D B} - \vec{D C})$

$= (\vec{O C} + \vec{A O}) + (\vec{D B} + \vec{C D}) = (\vec{A O} + \vec{O C}) + (\vec{C D} + \vec{D B})$

$= \vec{A C} + \vec{C B} = \vec{A B}$

$\Rightarrow | \vec{b} | = | \vec{A B} | = A B = 1$

Chú ý khi giải:

Khi có dấu trừ phía trước ta thường thay bằng vectơ đối của nó và ngược lại

4. Tính chất vecto của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

HĐ Khám phá 4 trang 92 Toán lớp 10: a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết $\vec{M B} = - \vec{M A} = \vec{A M} .$ Hoàn thành phép cộng vectơ sau: $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M A} + \vec{A M} = \vec{M M} = ?$

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng $\vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G D}$ và $\vec{G A} = \vec{D G}$ , hoàn thành các phép cộng vectơ sau:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G A} + \vec{G D} = \vec{D D} = ?$

Phương pháp giải:

a) Thay thế các vectơ bằng nhau $\vec{M B} = - \vec{M A} = \vec{A M} .$

b) Bước 1: Áp dụng quy tắc hình bình hành trên BGCD

Bước 2: Áp dụng tính chất trung điểm vừa tìm được ở câu a) $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$

(với M là trung điểm của AB)

Lời giải:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M A} + \vec{A M} = \vec{M M} = \vec{0}$ (vì vectơ $\vec{M B} = - \vec{M A} = \vec{A M} .$ )

b) Xét hình bình hành BGCD ta có: $\vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G D}$

$\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G A} + \vec{G D} = \vec{D G} + \vec{G D} = \vec{D D} = \vec{0}$

(vì $\vec{G A} = - \vec{G D} = \vec{D G}$ )

Giải toán lớp 10 trang 93 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$

b) $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$

c) $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

c) Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ (với M là trung điểm của AB)

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho $A M = \frac{2}{3} A O$

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho $O N = \frac{1}{3} O D$

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O

Bài tập

Bài 1 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ ;

b) $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$

Phương pháp giải:

a) Thay vectơ $\vec{D C} = \vec{A B}$

b) Bước 1: chèn điểm O: $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}$

Bước 2: Sử dụng tính chất trung điểm: $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành nên $\vec{D C} = \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B A} + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{A B} = \vec{B B} = \vec{0}$

b) $\vec{M A} + \vec{M C} = (\vec{M B} + \vec{B A}) + (\vec{M D} + \vec{D C})$

$= (\vec{M B} + \vec{M D}) + (\vec{B A} + \vec{D C})$

$= \vec{M B} + \vec{M D}$ (Vì $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ )

Bài 2 trang 93 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ ;

b) $\vec{A B} - \vec{A D}$ ;

c) $\vec{C B} - \vec{C D}$ .

Lời giải:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{C D} + \vec{D A}) = \vec{A C} + \vec{C A} = \vec{A A} = \vec{0}$

b) $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{D A} = \vec{D A} + \vec{A B} = \vec{D B}$

c) $\vec{C B} - \vec{C D} = \vec{C B} + \vec{D C} = \vec{D C} + \vec{C B} = \vec{D B}$

Bài 3 trang 93 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:

a) $\vec{B A} + \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{A C}$ ;

c) $\bar{B A} - \bar{B C}$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC, xác định giao điểm của 2 đường chéo là điểm O.

Bước 2: Xác định vectot tổng $\vec{A B} + \vec{A C} = ?$

Bước 3: Tính độ dài của vecto tìm được

Bước 1: Thay thế vecto đối $\vec{A B} = - \vec{B A}$

Bước 2: Sử dụng quy tắc ba điểm tính vecto tổng

Bước 3: Tính độ dài

Lời giải:

a) $\vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C} \Rightarrow | \vec{B C} | = B C = a$

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$

$A D = 2 A O = 2 \sqrt{A B^{2} - B O^{2}} = 2 \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow | \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A D} | = A D = a \sqrt{3}$

c) $\vec{B A} - \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{C B} = \vec{C B} + \vec{B A} = \vec{C A}$

$\Rightarrow | \vec{B A} - \vec{B C} | = | \vec{C A} | = C A = a$

Bài 4 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O D} - \vec{O C}$ ;

b) $\vec{F_{2}}$ $\vec{O A} - \vec{O B} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

Phương pháp giải:

Vận dụng quy tắc hiệu: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$

Lời giải:

a) $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$

$\vec{O D} - \vec{O C} = \vec{C D}$

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{B A} = \vec{C D}$

Suy ra, $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O D} - \vec{O C}$

b) $\vec{O A} - \vec{O B} + \vec{D C} = (\vec{O D} - \vec{O C}) + \vec{D C} = \vec{C D} + \vec{D C} = \vec{C C} = \vec{0}$

Bài 5 trang 93 Toán lớp 10: Cho ba lực

Lời giải:

Ba lực

Dựng hình bình hành

Xét hình bình hành MADB, ta có:

AM=AB và

Vậy độ lớn của lực

Bài 6 trang 93 Toán lớp 10: Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực

Khi máy bay nghiêng cánh một góc Alpha, lực F của không khí tác động vuông góc với cánh

Lời giải:

Kí hiệu các điểm như hình dưới.

Khi đó các lực

Vậy

Bài 7 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}; \vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Lời giải:

Ta có $A C = A B \sqrt{2} = a \sqrt{2}$

+) $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ ,

Suy ra K là trung điểm AC $\Rightarrow A K = \frac{1}{2} . a \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

+) $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ , suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow D H = \frac{2}{3} D K = \frac{1}{3} D B$ (1)

+) $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B K = \frac{1}{3} B D$ (2)

$(1, 2) \Rightarrow H G = \frac{1}{3} B D = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Mà $K G = K H = \frac{1}{2} H G = \frac{a \sqrt{2}}{6}$ (2)

$\Rightarrow A G = \sqrt{A K^{2} + G K^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

$\Rightarrow | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

Vậy $| \vec{K A} | = \frac{a \sqrt{2}}{2}, | \vec{G H} | = \frac{a \sqrt{2}}{3}, | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$ .

Bài 8 trang 93 Toán lớp 10: Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ mói trên.

Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước

Lời giải:

Gọi vecto vận tốc của tàu là

Ta có vecto tổng là

Độ dài vecto tổng là

Vậy độ dài vecto tổng là

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Khái niệm vecto

Bài 3: Tích của một số với một vecto

Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 5

====== ****&**** =====

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy