Cho tam giác ABC có AB = 14, BC = 10, AC = 16. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA = 8. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 14, BC = 10, AC = 16. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA = 8. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng BC.

A. 24

B. 16

Đáp án chính xác

C .$8\sqrt{2}$

D.$8\sqrt{3}$

Trả lời:

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC trong tam giác ABC.+ Ta có: $\left.\begin{array}{l}AH\perp BC\\ OA\perp BC\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(OAH\right)\Rightarrow OH\perp BC$   $\Rightarrow$ d(O; BC) = OH+ Nửa chu vi tam giác ABC: p = $\frac{14+16+10}{2}$= 20$S_{ABC}=\sqrt{20\left(20-14\right)\left(20-16\right)\left(20-10\right)}=40\sqrt{3}$(theo công thức Hê-rông)Lại có $S_{ABC}=$1/2AH.BC  $\Rightarrow$AH = $\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{80\sqrt{3}}{10}=8\sqrt{3}.$+ Tam giác OAH vuông tại A (OA$\perp$AH) $\Rightarrow$ OH = $\sqrt{O{A}^2+A{H}^2}=\sqrt{8^2+{\left(8\sqrt{3}\right)}^2}=16.$Vậy d(O; BC) = OH = 16.Đáp án B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

   A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong  mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

   B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mặt phẳng (P).

   C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.

   Đáp án chính xác

   D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

   Trả lời:

   Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song, nhận thấy các phương án A, B, D đúng.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng b đến mặt phẳng (P) chứa a và song song với b chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

   A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

   Đáp án chính xác

   B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó.

   C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

   D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

   Trả lời:

   Đáp án A: đúngĐáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau. Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.ĐÁP ÁN A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là :
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là :

   A. AA’

   Đáp án chính xác

   B. BB’

   C. DA’

   D. DD’

   Trả lời:

   Ta có: $AA‘\perp AD$ tại A; $AA‘\perp A^{‘}{C}^{‘}$ tại A’Do đó đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là AA’.Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30°. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng $30°$. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD.

   A.$\frac{a}{3}$

   Đáp án chính xác

   B.$\frac{2a}{3}$

   C.$\frac{4a}{3}$

   D.$\frac{5a}{3}$

   Trả lời:

   
   + Ta có $\left.\begin{array}{l}DB\perp AC\\ DB\perp SA\end{array}\right\}\Rightarrow DB\perp \left(SAC\right)\Rightarrow DB\perp SO$ tại O
    Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO
   Do đó góc giữa SD và (SAC) là $\widehat{DSO}=30°$
   + Đặt DO = x $\Rightarrow$ DB = 2x; AO = BO = CO = x
   Ta có: $\Delta SAB=\Delta SAD\left(c.g.c\right)$ nên SB = SD $\Rightarrow$ Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC $\Rightarrow \widehat{ DSB}=2\widehat{DSO}=60°$ 
   Tam giác SBD đều $\Rightarrow$ SO = 2x $\frac{\sqrt{3}}{2}$= x$\sqrt{3}$
   Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có: $S{O}^2=A{O}^2+S{A}^2$
   hay $3x^2 = x^2+\hspace{0.17em}{a}^2\iff x^2= a^2/ 2$
   $\Rightarrow$x =$\frac{a}{\sqrt{2}}$
   + Gọi N là trung điểm của AB $\Rightarrow$DN // BM
   Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))
   + Kẻ AI $\perp$BM tại I và AH $\perp$ SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH $\perp$ (SBM)
    $\Rightarrow$ d(A; (SBM)) = AH $\Rightarrow$ d(D; (SBM)) = 1/2 AH.
   + Tính AH
   $BM = \sqrt{B{C}^2 +\hspace{0.17em}C{M}^2}= \frac{a\sqrt{5}}{2}$
   Trong (ABCD): $S_{ABM}=S_{ABCD}-2S_{ADM}=a^2-2.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$
   Mà $S_{ABM}=\frac{1}{2}$AI. BM  $\Rightarrow$AI = $\frac{2a}{\sqrt{5}}$
   Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:
      $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{I}^2}+\frac{1}{S{A}^2}\Rightarrow$AH = $\frac{2a}{3}$
   Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH = $\frac{a}{3}$
   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a.

   A.$\frac{a\sqrt{5}}{2}$

   B.$\frac{a\sqrt{5}}{4}$

   C.$\frac{a\sqrt{5}}{3}$

   D.$a\sqrt{5}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   
   Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a, O là tâm của A’B’C’D’.
   Gọi N, M lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A’B’.
   $\Rightarrow$MN = AA’ = 2a, OM = 1/2A’D’ = a
   Lại có: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OM\\ AB\perp MN\text{}\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp ON$
   $\Rightarrow$d(O, AB) = ON = $\sqrt{O{M}^2+M{N}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}=a\sqrt{5}$.
   Đáp án D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====