Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

A. Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số $y=x^2-4x+2$ có y’ = 2x – 4

• y’ > 0 với $x\in (2;+\mathrm{\infty })$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$
• y’ < 0 với $x\in (-\mathrm{\infty };2)$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$

Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) Tìm tập xác định của hàm số. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm $x_i$(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$

1. Tập xác định của hàm số là $R\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

2. Ta có: $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{{(x+1)}^2}=\frac{3}{{(x+1)}^2}>0\mathrm{\forall }x\ne -1$

3. BBT

4. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là $-\mathrm{\infty }$, b có thể là $+\mathrm{\infty }$ ) và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f($x_0$) $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_0$ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f($x_0$) $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_0$

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và $y_{CT}$= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và $y_{CT}$= y(1) = 2

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Khi đó: Nếu f’(x) < 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) > 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) Nếu f’(x) > 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) < 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+30$.

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-12x+9$; y’ = 0 $\iff$x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

 

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và $y_{CT}$= y(3) = 30

B. Bài tập Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = x³ + 3x² – 9x + 15. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1).

B. Hàm số đồng biến trên (−9; −5).

C. Hàm số đồng biến trên ℝ.

D. Hàm số đồng biến trên (5; +∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = ℝ.

Có y’ = 3x² + 6x – 9; y’ = 0 $\iff$ x = −3 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên cách khoảng (−∞; −3) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1).

Bài 2. Hàm số y = x⁴ – 2x² + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.       

B. 3.       

C. 1.        

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Có y’ = 4x³ – 4x; y’ = 0 $\iff$ x = −1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 và y_CT = 0.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 1.

Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau

a) y = x³ – 3x;         

b) $y=\frac{2x–1}{x–1}$.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ.

Có y’ = 3x² – 3; y’ = 0$\iff$x = 1 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1).

b) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Có $y‘=\frac{2(x–1)–(2x–1)}{{(x–1)}^2}=\frac{–1}{{(x–1)}^2}<0,\forall x\ne 1$ .

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Bài 4. Tìm cực trị của các hàm số sau

a) $y=\frac{2x+3}{x+1}$;     

b) y = 2x⁴ – 4x² + 2022.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $y‘=\frac{2(x+1)–(2x+3)}{{(x+1)}^2}=\frac{–1}{{(x+1)}^2}<0,\forall x\ne –1$.

Do đó hàm số không có cực trị.

b) Tập xác định: D = ℝ.

Có y’ = 8x³ – 8x; y’ = 0 $\iff$ x = −1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 2022.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 và y_CT = 2020.

Bài 5. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức G(x) = 0,024x²(30 – x), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = (0; 30).

Có G'(x) = 0,048x(30 – x) – 0,024x² = 0,024x(60 – 3x);

G'(x) = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là x = 20 mg.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Lý thuyết Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Lý thuyết Bài 6: Vectơ trong không gian