Giải SGK Toán 7 Bài 6 (Cánh diều): Dãy tỉ số bằng nhau

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau

Giải Toán 7 trang 55 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 55 Toán lớp 7: Làm thế nào để biểu diễn sự bằng nhau của ba tỉ số $\frac{1}{2};\frac{2}{4};\frac{3}{6}$?

Phương pháp giải:

Nếu a = b; b = c thì a = b = c

Lời giải:

Ta có thể biểu diễn: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$

I. Khái niệm

Hoạt động 1 trang 55 Toán lớp 7: So sánh từng cặp tỉ số trong ba tỉ số sau: $\frac{4}{6};\frac{8}{12};\frac{-10}{-15}$

Phương pháp giải:

Nếu a . d = b. c thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Lời giải:

Vì 4.12  = 6.8 nên $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}$

Vì 8.(-15) = 12. (-10) nên $\frac{8}{12}=\frac{-10}{-15}$

Vì 4.(-15) = 6.(-10) nên $\frac{4}{6}=\frac{-10}{-15}$

Luyện tập vận dụng 1 trang 55 Toán lớp 7: Viết dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ số:

$\frac{1}{4};\frac{8}{32};\frac{13}{54};\frac{-9}{-36}$

Phương pháp giải:

Tìm các tỉ số bằng nhau trong số các tỉ số trên bằng cách rút gọn các tỉ số về dạng phân số tối giản

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{8}{32}=\frac{8:8}{32:8}=\frac{1}{4};\\ \frac{13}{54};\\ \frac{-9}{-36}=\frac{(-9):(-9)}{(-36):(-9)}=\frac{1}{4}\end{array}$

Như vậy, $\frac{1}{4}=\frac{8}{32}=\frac{-9}{-36}$

II. Tính chất

Giải Toán 7 trang 56 Tập 1

Hoạt động 2 trang 56 Toán lớp 7: a) Cho tỉ lệ thức$\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$. So sánh hai tỉ số $\frac{6+9}{10+15}$ và $\frac{6-9}{10-15}$ với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

b) Cho tỉ lệ thức $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ với $b+d\ne 0;b-d\ne 0$

Gọi giá trị trung của các tỉ số đó là k, tức là: $k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

– Tính a theo b và k, tính c theo d và k.

– Tính tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ theo k.

– So sánh mỗi tỉ số $\frac{a+c}{b+d}$ và $\frac{a-c}{b-d}$ với các tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$

Phương pháp giải:

Tính các tỉ số rồi so sánh

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5};\\ \frac{9}{15}=\frac{9:3}{15:3}=\frac{3}{5}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{6+9}{10+15}=\frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{3}{5};\\ \frac{6-9}{10-15}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\end{array}$

Ta được: $\frac{6+9}{10+15}=\frac{6-9}{10-15}=\frac{6}{10}=\frac{9}{15}$

b) – Vì $k=\frac{a}{b}\Rightarrow a=k.b$

Vì $k=\frac{c}{d}\Rightarrow c=k.d$

– Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a+c}{b+d}=\frac{k.b+k.d}{b+d}=\frac{k.(b+d)}{b+d}=k;\\ \frac{a-c}{b-d}=\frac{k.b-k.d}{b-d}=\frac{k.(b-d)}{b-d}=k\end{array}$

– Như vậy, $\frac{a+c}{b+d}$ =$\frac{a-c}{b-d}$ = $\frac{a}{b}$ =$\frac{c}{d}$( =k)

Giải Toán 7 trang 57 Tập 1

Luyện tập vận dụng 2 trang 57 Toán lớp 7: Tìm hai số x,y biết:

x : 1,2 = y : 0,4 và x – y = 2.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$

Lời giải:

Vì x : 1,2 = y : 0,4 nên $\frac{x}{1,2}=\frac{y}{0,4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{1,2}=\frac{y}{0,4}=\frac{x-y}{1,2-0,4}=\frac{2}{0,8}=2,5$

Vậy x = 1,2 . 2,5 = 3; y = 0,4 . 2,5 = 1

Luyện tập vận dụng 3 trang 57 Toán lớp 7: Tìm ba số x,y,z biết x,y,z tỉ lệ với ba số 2,3,4 và x – y – z  = 2.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a-c-e}{b-d-f}$

Lời giải:

Vì ba số x,y,z biết x,y,z tỉ lệ với ba số 2,3,4 nên $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x-y-z}{2-3-4}=\frac{2}{-5}=\frac{-2}{5}$

Vậy $x=2.\frac{-2}{5}=\frac{-4}{5};y=3.\frac{-2}{5}=\frac{-6}{5};z=4.\frac{-2}{5}=\frac{-8}{5}$

III. Ứng dụng

Luyện tập vận dụng 4 trang 57 Toán lớp 7: Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi không có nước, có dạng hình hộp chữ nhật, vớ các kích thước bể là 12 m; 10 m; 1,2 m. Lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7;8;9. Mỗi máy cần bơm bao nhiêu mét khối nước để đầy bể bơi?

Phương pháp giải:

+ Tính thể tích bể bơi hình hộp chữ nhật có kích thước a,b,c: V = a.b.c

+ Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$

Lời giải:

Thể tích bể bơi là:

V = 12.10.1,2 = 144 (m3)

Gọi lượng nước mà mỗi máy cần bơm lần lượt là: x,y,z (m3) (x,y,z > 0) thì tổng lượng nước 3 máy cần bơm là: x + y + z = 144

Vì lượng nước mà ba máy bơm được tỉ lệ với 3 số 7;8;9 nên $\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{7}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}=\frac{x+y+z}{7+8+9}=\frac{144}{24}=6$

$\Rightarrow x=7.6=42;y=8.6=48;z=9.6=54$(thỏa mãn)

Vậy lượng nước mà mỗi máy cần bơm lần lượt là: 42 m3; 48 m3 và 54 m3

Giải Toán 7 trang 58 Tập 1

Bài 1 trang 58 Toán lớp 7: Cho tỉ lệ thức $\frac{x}{7}=\frac{y}{2}$. Tìm hai số x,y biết:

a) x + y = 18;               b) x – y = 20

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

b) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a) $\frac{x}{7}=\frac{y}{2}=\frac{x+y}{7+2}=\frac{18}{9}=2$

Vậy x = 7 . 2 = 14; y = 2.2 = 4

b) $\frac{x}{7}=\frac{y}{2}=\frac{x-y}{7-2}=\frac{20}{5}=4$

Vậy x = 7.4 = 28; y = 2.4 = 8

Bài 2 trang 58 Toán lớp 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}$. Tìm ba số x,y,z biết:

a) x+y+z = 180;                      b) x + y – z = 8

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$

b) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c-e}{b+d-f}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a) $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{3+4+5}=\frac{180}{12}=15$

Vậy x = 3 . 15 = 45; y = 4 . 15 = 60; z = 5 . 15 = 75

b) $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y-z}{3+4-5}=\frac{8}{2}=4$

Vậy x = 3. 4 = 12; y = 4.4 = 16; z = 5.4 = 20

Bài 3 trang 58 Toán lớp 7: Cho ba số x,y,z sao cho $\frac{x}{3}=\frac{y}{4};\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$

a) Chứng minh: $\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}$

b) Tìm ba số x,y,z biết x – y + z = – 76

Phương pháp giải:

a) Nhân cả 2 vế của từng đẳng thức với cùng 1 số.

b) Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c-e}{b+d-f}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{3}=\frac{y}{4}\Rightarrow \frac{x}{3}.\frac{1}{5}=\frac{y}{4}.\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{x}{15}=\frac{y}{20};\\ \frac{y}{5}=\frac{z}{6}\Rightarrow \frac{y}{5}.\frac{1}{4}=\frac{z}{6}.\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{y}{20}=\frac{z}{24}\end{array}$

Vậy  $\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}$ (đpcm)

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{15}=\frac{y}{20}=\frac{z}{24}=\frac{x-y+z}{15-20+24}=\frac{-76}{19}=-4$

Vậy x = 15 . (-4) = -60; y = 20. (-4) = -80; z = 24 . (-4) = -96

Bài 4 trang 58 Toán lớp 7: Lượng khí carbon đioxide thu vào và lượng oxygen thải ra môi trường của 1 m2 lá cây khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng tỉ lệ với hai số 11 và 8. Tính lượng khí carbon đioxide và lượng oxygen mà 1 m2 lá cây đã thu vào và thải ra môi trường khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng, biết lượng khí carbon đioxide lá cây thu vào nhiều hơn lượng oxygen lá cây thải ra môi trường là 8 g.

Phương pháp giải:

Gọi lượng khí carbon đioxide thu vào và lượng oxygen thải ra môi trường của 1 m2 lá cây khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng lần lượt là x,y.

Biểu diễn các dữ kiện đề bài cho về dạng công thức

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải:

Gọi lượng khí carbon đioxide thu vào và lượng oxygen thải ra môi trường của 1 m2 lá cây khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng lần lượt là x,y (g) (x,y > 0)

Vì lượng khí carbon đioxide thu vào và lượng oxygen thải ra môi trường của 1 m2 lá cây khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng tỉ lệ với 11 và 8 nên $\frac{x}{11}=\frac{y}{8}$

Mà khí carbon đioxide lá cây thu vào nhiều hơn lượng oxygen lá cây thải ra môi trường trong 11 giờ là 8 g nên x – y = 8

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{11}=\frac{y}{8}=\frac{x-y}{11-8}=\frac{8}{3}\\ \Rightarrow x=11.\frac{8}{3}=\frac{88}{3}\\ y=8.\frac{8}{3}=\frac{64}{3}\end{array}$

Vậy lượng khí carbon đioxide thu vào và lượng oxygen thải ra môi trường của 1 m2 lá cây khi quang hợp trong 11 giờ ở ngoài trời nắng lần lượt là $\frac{88}{3}g;\frac{64}{3}g$

Bài 5 trang 58 Toán lớp 7: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với tỉ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng $\frac{3}{5}$ và chu vi bằng 48 m.

a) Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó.

b) Tính diện tích của mảnh vườn đó.

Phương pháp giải:

+ Gọi độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là x ,y

+ Biểu diễn các dữ kiện đề bài cho theo x ,y.

Chú ý: Chu vi hình chữ nhật: C = 2. (x+y)

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tìm x,y

+ Tính diện tích hình chữ nhật

Lời giải:

a) Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x và y (m) (x > y > 0).

Nửa chu vi mảnh vườn là: 48 : 2 = 24 (m)

Khi đó ta có: x + y = 24 (m).

Vì tỉ số độ dài giữa hai cạnh của mảnh vườn bằng  nên  hay  (tính chất tỉ lệ thức).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Khi đó:

+) suy ra x = 5.3 = 15 (thoả mãn);

+)  suy ra y = 3.3 = 9 (thoả mãn).

Khi đó chiều dài mảnh vườn là 15 m; chiều rộng mảnh vườn là 9 m.

b) Diện tích mảnh vườn là: 15.9 = 135 (m²).

Vậy diện tích mảnh vườn là 135 (m²).

Bài 6 trang 58 Toán lớp 7: Trong đợt quyên góp ủng hộ các bạn vùng lũ lụt, số sách mà ba lớp 7A,7B,7C quyên góp được tỉ lệ với ba số 5;6;8. Tính số sách cả ba lớp đã quyên góp, biết số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là 24 quyển.

Phương pháp giải:

+ Gọi số sách 3 lớp 7A,7B,7C quyên góp được là x,y,z (quyển) ($x,y,z\in \mathbb{N}\ast$)

+ Biểu diễn các dữ kiện đề bài cho theo x ,y, z.

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tìm x,y,z

Lời giải:

Gọi số sách 3 lớp 7A,7B,7C quyên góp được là x,y,z (quyển) ($x,y,z\in \mathbb{N}\ast$)

Vì số sách mà ba lớp 7A,7B,7C quyên góp được tỉ lệ với ba số 5;6;8 nên $\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{8}$

Mà số sách lớp 7C quyên góp nhiều hơn số sách của lớp 7A quyên góp là 24 quyển nên z – x = 24

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{8}=\frac{z-x}{8-5}=\frac{24}{3}=8\\ \Rightarrow x=5.8=40;y=6.8=48;z=8.8=64\end{array}$

Vậy số sách 3 lớp 7A,7B,7C quyên góp được lần lượt là 40 quyển; 48 quyển và 64 quyển.

Bài 7 trang 58 Toán lớp 7: Trên quần đảo Trường Sa của Việt Nam, cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u là những loại cây có sức sống mãnh liệt, chịu đựng được tàn phá của thiên nhiên, biển mặn và có thời gian sinh trưởng lâu. Nhân ngày Tết trồng cây, các chiến sĩ đã trồng tổng cộng 192 cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u trên các đảo. Số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng tỉ lệ với ba số 5;4;3. Tính số cây các chiến sĩ đã trồng mỗi loại.

Phương pháp giải:

+ Gọi số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng được là x,y,z (cây) ($x,y,z\in \mathbb{N}\ast$)

+ Biểu diễn các dữ kiện đề bài cho theo x ,y, z.

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tìm x,y,z

Lời giải:

Gọi số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng được là x,y,z (cây) ($x,y,z\in \mathbb{N}\ast$)

Vì tổng số cây đã trồng được là 192 cây nên x + y + z = 192

Mà số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng tỉ lệ với ba số 5;4;3 nên $\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{5+4+3}=\frac{192}{12}=16\\ \Rightarrow x=5.16=80;y=4.16=64;z=3.16=48\end{array}$

Vậy số cây phong ba, cây bàng vuông, cây mù u đã trồng được lần lượt là: 80 cây, 64 cây và 48 cây.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết:

Bài 5: Tỉ lệ thức

Bài 7: Đại lượng tỉ lệ thuận

Bài 8: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài tập cuối chương 2