Giải SGK Toán 7 (Kết nối tri thức) Luyện tập chung trang 82

Giải bài tập Toán lớp 7 Luyện tập chung trang 82

Giải Toán 7 trang 83 Tập 2

Bài tập

Bài 9.31 Trang 83 Toán lớp 7: Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Phương pháp giải:

-Chứng minh $Δ A B D = Δ A C D (c - g - c)$

Lời giải:

Từ A kẻ đường thẳng m vuông góc với BC tại trung điểm D của BC.

$\Rightarrow$ AD là đường trung tuyến của BC.

Xét $Δ A B D$ và $Δ A C D$ có:

$\begin{array}{l} \hat{A D B} = \hat{A D C} = 90^{0} \\ A D : c h u n g \\ B D = C D (g t) \\ \Rightarrow Δ A B D = Δ A C D (c - g - c) \end{array}$

$\Rightarrow A B = A C$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow Δ A B C$ cân tại A (đpcm).

Bài 9.32 Trang 83 Toán lớp 7: Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.

Phương pháp giải:

-Ba đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm.

Lời giải:

Xét tam giác MNC có

$\begin{array}{l} B N ⊥ C M \\ C A ⊥ M N \end{array}$

$B N \cap C A =$ {B}

$\Rightarrow$ B là trực tâm của tam giác MNC

$\Rightarrow M B ⊥ C N$

Bài 9.33 Trang 83 Toán lớp 7: Có một mảnh tôn hình tròn cần đục lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?

Phương pháp giải:

-Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài mảnh tôn.

– Xác định giao của các đường trung trực.

Lời giải:

-Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài mảnh tôn.

– Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O. Khi đó O là tâm cần xác định.

Bài 9.34 Trang 83 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.

Phương pháp giải:

$A t ∥ B C$

$\hat{A B C} = \hat{B A t}$ (Hai góc sole trong)

$\hat{A C B} = \hat{M A t}$ (Hai góc đồng vị)

Lời giải:

Gọi AM là tia đối của AC. At là đường phân giác của $\hat{M A B} \Rightarrow \hat{M A t} = \hat{B A t}$

Ta có: $A t ∥ B C$ nên:

$\hat{A B C} = \hat{B A t}$ (Hai góc sole trong)

$\hat{A C B} = \hat{M A t}$ (Hai góc đồng vị)

Mà $\hat{M A t} = \hat{B A t}$ $\Rightarrow \hat{A B C} = \hat{A C B}$

Vậy tam giác ABC cân tại A ( Dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Bài 9.35 Trang 83 Toán lớp 7: Kí hiệu $S_{A B C}$ là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Chúng minh $S_{G B C} = \frac{1}{3} S_{A B C}$

Gợi ý: Sử dụng $G M = \frac{1}{3} A M$ để chứng minh $S_{G M B} = \frac{1}{3} S_{A B M}, S_{G C M} = \frac{1}{3} S_{A C M}$ .

b) Chứng minh $S_{G C A} = S_{G A B} = \frac{1}{3} S_{A B C}$ .

Phương pháp giải:

Kẻ $B P ⊥ A M$ , $C N ⊥ A M$

Sử dụng $G M = \frac{1}{3} A M$ để chứng minh $S_{G M B} = \frac{1}{3} S_{A B M}, S_{G C M} = \frac{1}{3} S_{A C M}$ .

-Chứng minh $S_{G A B} = S_{G A C}$

-Sử dụng $S_{A B C} = S_{G A B} + S_{G A C} + S_{G B C}$

Lời giải:

Kẻ $B P ⊥ A M$ , $C N ⊥ A M$

Sử dụng $G M = \frac{1}{3} A M$ để chứng

minh $S_{G M B} = \frac{1}{3} S_{A B M}, S_{G C M} = \frac{1}{3} S_{A C M}$ .

-Chứng minh $S_{G A B} = S_{G A C}$

-Sử dụng $S_{A B C} = S_{G A B} + S_{G A C} + S_{G B C}$

Lời giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $G M = \frac{1}{3} A M$

Kẻ $B P ⊥ A M$ ta có

$\begin{array}{l} S_{G M P} = \frac{1}{2} B P . G M \\ S_{A B M} = \frac{1}{2} B P . A M \end{array}$

$\Rightarrow \frac{S_{G M P}}{S_{A B M}} = \frac{G M}{A M} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{G M P} = \frac{1}{3} S_{A B M}$ (1)

Tương tự, kẻ $C N ⊥ A M$ , ta có

$\begin{array}{l} S_{G M C} = \frac{1}{2} C N . G M \\ S_{A C M} = \frac{1}{2} C N . A M \\ \Rightarrow \frac{S_{G M C}}{S_{A C M}} = \frac{G M}{A M} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{G M C} = \frac{1}{3} S_{A C M} (2) \end{array}$

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:

$\begin{array}{l} S_{G M B} + S_{G M C} = \frac{1}{3} (S_{A M C} + S_{A B M}) \\ \Rightarrow S_{G B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} \end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l} S_{G A B} = \frac{1}{2} B P . A G \\ S_{G A C} = \frac{1}{2} C N . A G \end{array}$

Xét $Δ B P M$ và $Δ C N M$ có:

$\hat{B P M} = \hat{C N M} = 90^{0}$

BM = CM ( M là trung điểm của BC)

$\hat{P M B} = \hat{C M N}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ B P M = Δ C N M$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$ BP = CN (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow S_{G A B} = S_{G A C}$

Ta có: $A G = \frac{2}{3} A M$

$\begin{array}{l} S_{A C B} = S_{G A B} + S_{G A C} + S_{G C B} \\ \Rightarrow S_{A C B} = S_{G A B} + S_{G A C} + \frac{1}{3} S_{A B C} \\ \Rightarrow \frac{2}{3} S_{A B C} = 2 S_{G A C} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} S_{A B C} = S_{G A C} = S_{G A B} \end{array}$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 70

Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Bài tập cuối chương 9

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy