Sách bài tập Toán 7 Bài 31 (Kết nối tri thức): Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Giải SBT Toán 7 trang 48 Tập 2

Bài 9.1 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°.

Lời giải:

Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°

Xét tam giác ABC có BC là cạnh dài nhất và góc đối diện của cạnh BC là $\hat{A}$ nên theo định lí 1 ta có $\hat{A}$ là góc lớn nhất thỏa mãn: $\hat{A} \geq \hat{B}, \hat{A} \geq \hat{C}$ .

Suy ra $\hat{A} + \hat{A} + \hat{A} \geq \hat{A} + \hat{B} + \hat{C}$

Hay $3 \hat{A} \geq \hat{A} + \hat{B} + \hat{C}$

Do đó $\hat{A} \geq \frac{\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}}{3}$ .

Mà tổng ba góc trong một tam giác là 180º.

Nên $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ .

Từ đó ta có: $\hat{A} \geq \frac{\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}}{3} = \frac{180 °}{3} = 60 °$ .

Vậy suy ra số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60º (đpcm).

Bài 9.2 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Chứng minh AD < AC < AE.

Lời giải:

Do trong một tam giác cân, hai góc của đáy luôn bé hơn 90º nên suy ra $\hat{A C B}$ là góc nhọn.

Mà $\hat{A C E}$ kề bù với $\hat{A C B}$ nên suy ra $\hat{A C E}$ là góc tù.

Xét tam giác ACE có $\hat{A C E}$ là góc tù nên cạnh đối diện với $\hat{A C E}$ là cạnh AE là cạnh lớn nhất.

Suy ra AE > AC (*)

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Lại có:

Xét tam giác ABC có: $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$

Suy ra $\hat{B A C} = 180 ° - 2 \hat{A B C}$ (1)

Xét tam giác ABD có: $\hat{B A D} + \hat{A B D} + \hat{A D B} = 180 °$

Suy ra $\hat{B A D} = 180 ° - \hat{A B D} - \hat{A D B}$ (2)

Mà D nằm giữa B và C nên suy ra $\hat{B A D} < \hat{B A C}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $180 ° - \hat{A B D} - \hat{A D B} < 180 ° - 2 \hat{A B C}$

Hay $\hat{A B C} + \hat{A D B} > 2 \hat{A B C}$

Do đó $\hat{A D B} > \hat{A B C}$ .

Áp dụng định lí 2 ta được AB > AD

Mà AB = AC (cmt) nên suy ra AC > AD (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra AE > AC > AD (đpcm).

Bài 9.3 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Lời giải:

Gọi tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M.

Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù

+) Giả sử $0 ° < \hat{P} < 90 °$ tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A nên suy ra $\hat{A} = 90 °$ (1)

Lại có tam giác ABC có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

Hay $\hat{A} = 180 ° - (\hat{B} + \hat{C})$

Vậy suy ra $180 ° - (\hat{B} + \hat{C}) = 90 ° \Leftrightarrow \hat{B} + \hat{C} = 90 °$

Hay ta suy ra được $0 ° < \hat{B} < 90 °$ và $0 ° < \hat{C} < 90 °$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{A} > \hat{B}, \hat{A} > \hat{C}$

Theo định lí 2 ta có BC > AC và BC > AB nên BC là cạnh lớn nhất

Vậy trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất (đpcm).

+) Giả sử tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M nên suy ra $90 ° < \hat{M} < 180 °$ (3)

Lại có tam giác MNP có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\hat{M} + \hat{N} + \hat{P} = 180 °$

Hay $\hat{M} = 180 ° - (\hat{N} + \hat{P})$

Suy ra $90 ° < 180 ° - (\hat{N} + \hat{P}) < 180 °$

Do đó $0 ° < \hat{N} + \hat{P} < 90 °$

Hay ta suy ra được $0 ° < \hat{N} < 90 °$ và (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\hat{M} > \hat{N}; \hat{M} > \hat{P}$ .

Theo định lí 2 ta có NP > MP và NP > MN nên NP là cạnh lớn nhất.

Vậy trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất (đpcm).

Bài 9.4 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

a) Hãy so sánh hai góc MAB và MAC.

(HD. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP rồi chứng minh hai tam giác AMC và PMB bằng nhau).

b) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Hỏi D thuộc đoạn thẳng MB hay đoạn thẳng MC? Vì sao?

Lời giải:

Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC

a) Lấy P là điểm thuộc đường thẳng AM sao cho M là trung điểm của AP.

Xét hai tam giác ∆ AMC và ∆ PMB có:

AM = PM (M là trung điểm của AP)

MC = MB (M là trung điểm của BC)

$\hat{A M C} = \hat{P M B}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AMC = ∆PMB (c.g.c)

Suy ra $\hat{M A C} = \hat{M P B}$ (hai góc tương ứng) (1)

Và AC = PB

Mà AB > AC (gt)

Nên suy ra AB > PB

Xét tam giác ABP có AB > PB (cmt) nên theo định lí 1 ta có $\hat{A P B} > \hat{B A P}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{M A C} > \hat{M A B}$ (3).

b) AD là đường phân giác của góc BAC nên ta có: $\hat{B A D} = \hat{D A C}$ (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra được: $2 \hat{M A C} > \hat{M A C} + \hat{M A B} = \hat{B A C}$

Hay $2 \hat{M A C} > \hat{D A B} + \hat{D A C} = 2 \hat{D A C}$

Suy ra $\hat{M A C} > \hat{D A C}$ .

Do đó MC > DC.

Vậy D là điểm thuộc đoạn thẳng MC.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy