Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

By admin 20/04/2023 0

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{2} B C^{2}$

B. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$

Đáp án chính xác

C. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{3}{4} B C^{2}$

D. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{5}{4} B C^{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .
Do M là trung điểm BC nên ta có:
$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ;
$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$ .
Do đó: $4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$
$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$
$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$
$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$
$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$
$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$
$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$
$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính a2 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$

Đáp án chính xác

B. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = a^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 2 a^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$ .
Ta có:
$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$
$\Leftrightarrow {(\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})}^{2} = 9 {\vec{O M}}^{2}$
$\Leftrightarrow {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 {\vec{M O}}^{2}$

Mặt khác, ta lại có:
${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} = {(\vec{M O} + \vec{O A})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O B})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O C})}^{2}$
$= {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2}$
$= 3 {\vec{M O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{M O} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$
$= 3 M O^{2} + a^{2}$

Như vậy, ta được:

$3 M O^{2} + a^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 M O^{2}$
$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 3 M O^{2} - \frac{a^{2}}{2}$
Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ nên $M O = \frac{a}{2} \Rightarrow M O^{2} = \frac{a^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu hỏi:

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - O A^{2}$

Đáp án chính xác

B. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + O A^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - 2 O A^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + 2 O A^{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do O là trung điểm AB nên $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ và OA = OB, hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ ngược hướng, do đó $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .
Ta có:
$\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{O A} - \vec{O M}) (\vec{O B} - \vec{O M})$ (quy tắc ba điểm)

$= \vec{O A} . \vec{O B} - (\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$
$= |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) - \vec{0} . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$
$= O A . O B . \cos 180 ° - 0 + O M^{2}$
$= O M^{2} - O A^{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Câu hỏi:

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} - A D^{2}$

B. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

Đáp án chính xác

C. $A B^{2} + C D^{2} = 2 B C^{2} + A D^{2}$

D. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + 2 A D^{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
$A B^{2} + C D^{2} = {\vec{A B}}^{2} + {\vec{C D}}^{2} = {(\vec{A D} + \vec{D B})}^{2} + {(\vec{C B} + \vec{B D})}^{2}$
$= A D^{2} + 2 D B^{2} + B C^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A D} + 2 \vec{B D} . \vec{C B}$
$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{D B} + \vec{A D} - \vec{C B})$
$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} ((\vec{A D} + \vec{D B}) - \vec{C B})$
$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} - \vec{C B})$
$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} + \vec{B C})$
$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A C}$

Mà AC vuông góc với BD nên ta có: $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$
Do đó: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{4} B C^{2}$

B. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + B C^{2}$

C. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

Đáp án chính xác

D. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{3} B C^{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .
Do M là trung điểm BC nên ta có:
$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$
$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$

Do đó ta có:
$4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$
$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$
$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$
$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$
$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$
$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$
$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$
$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .
Ta có:
$A H^{2} = {\vec{A H}}^{2} = {(\vec{M H} - \vec{M A})}^{2} = {\vec{M H}}^{2} + {\vec{M A}}^{2} - 2 \vec{M A} . \vec{M H}$
$= M H^{2} + M A^{2} - 2. \frac{1}{4} . B C^{2}$

Do đó: $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} - M C^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M A} . \vec{M C} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
3M’G’ = BC
$\Leftrightarrow 3 \vec{M ‘ G ‘} = \vec{B C}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{M ‘ G ‘} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$ (nhân cả hai vế với vectơ $\vec{B C}$ ).
Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên $\vec{M ‘ G ‘} = \vec{M G}$ .
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .
Do đó, ta có:
$3 \vec{M G} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$
$\Leftrightarrow (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$
$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + (\vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$
$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + M C^{2} - M B^{2} = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====