Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Bài 14 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{24y^5}{7x^2}.\left(-\frac{49x}{12y^3}\right)$

b) $-\frac{36y^3}{15x^4}.\left(-\frac{45x^2}{9y^3}\right)$

c) $\frac{x^2-y^2}{x^2}.\frac{x^4}{{\left(x+y\right)}^2}$

d) $\frac{x+3}{x^2-1}.\frac{1-3x+3x^2-x^3}{9x+27}$

Lời giải:

a) 

$\frac{24y^5}{7x^2}.\left(-\frac{49x}{12y^3}\right)=\frac{12y^3.2y^2}{7x^2}.\left(-\frac{7x.7}{12y^3}\right)=-\frac{14y^2}{x}$

b) 

$-\frac{36y^3}{15x^4}.\left(-\frac{45x^2}{9y^3}\right)=-\frac{9y^3.4}{15x^2.x^2}.\left(-\frac{15x^2.3}{9y^3}\right)=\frac{12}{x^2}$

c) 

$\frac{x^2-y^2}{x^2}.\frac{x^4}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{x^2}.\frac{x^2.x^2}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{x^2\left(x-y\right)}{x+y}$

d) 

$\frac{x+3}{x^2-1}.\frac{1-3x+3x^2-x^3}{9x+27}=\frac{x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}.\frac{-{\left(x-1\right)}^3}{9\left(x+3\right)}=-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{9\left(x+1\right)}$

Bài 15 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{x^2-x+1}:\frac{x+1}{x-1}$

b) $\frac{x+y}{2x-y}:\frac{1}{x-y}$

c) $\frac{x^{3}y+x{y}^3}{x^{4}y}:\left(x^2+y^2\right)$

d) $\frac{x^3+8}{x^2-2x+1}:\frac{x^2+3x+2}{1-x^2}$

Lời giải:

a) $\frac{1}{x^2-x+1}:\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{x^2-x+1}.\frac{x-1}{x+1}=\frac{x-1}{x^3+1}$

b) $\frac{x+y}{2x-y}:\frac{1}{x-y}=\frac{x+y}{2x-y}.\frac{x-y}{1}=\frac{x^2-y^2}{2x-y}$

c) $\frac{x^{3}y+x{y}^3}{x^{4}y}:\left(x^2+y^2\right)=\frac{xy\left(x^2+y^2\right)}{x^{4}y}.\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{x^3}$

d) 

$\frac{x^3+8}{x^2-2x+1}:\frac{x^2+3x+2}{1-x^2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+y^2\right)}{{\left(x-1\right)}^2}.\frac{-\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=-\frac{x^2-2x+4}{x-1}$

Bài 16 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{9x-20}{x+2022}-\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{8x-2042}{x+2022}$

b) $\frac{x^2-81}{x^2+101}.\left(\frac{x^2+101}{x-9}+\frac{x^2+101}{x+9}\right)$

c) $\frac{x^2-1}{x+100}.\frac{2x}{x+2}+\frac{1-x^2}{x+100}.\frac{x-100}{x+2}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{9x-20}{x+2022}-\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{8x-2042}{x+2022}\\ =\frac{39+7}{x-2020}.\left(\frac{9x-20}{x+2022}-\frac{8x-2042}{x+2022}\right)\\ =\frac{39+7}{x-2020}.\frac{x+2022}{x+2022}\\ =\frac{39+7}{x-2020}\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x^2-81}{x^2+101}.\left(\frac{x^2+101}{x-9}+\frac{x^2+101}{x+9}\right)\\ =\frac{\left(x-9\right)\left(x+9\right)}{x^2+101}.\frac{x^2+101}{x-9}+\frac{\left(x-9\right)\left(x+9\right)}{x^2+101}.\frac{x^2+101}{x+9}\\ =x+9+x-9=2x\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x+100}.\frac{2x}{x+2}+\frac{1-x^2}{x+100}.\frac{x-100}{x+2}\\ =\frac{x^2-1}{x+100}\left(\frac{2x}{x+2}-\frac{x-100}{x+2}\right)\\ =\frac{x^2-1}{x+100}.\frac{x+100}{x+2}\\ =\frac{x^2-1}{x+2}\end{array}$

Bài 17 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $M=\frac{x-2y}{3x+6y}:\frac{x^2-4y^2}{x^2+4xy+4y^2}$

b) $N=\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)$

c) $P=\left(\frac{x^3+y^3}{x+y}-xy\right):\left(x^2-y^2\right)+\frac{2y}{x+y}$

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức $M$ ta có:

$\begin{array}{l}M=\frac{x-2y}{3x+6y}:\frac{x^2-4y^2}{x^2+4xy+4y^2}\\ =\frac{x-2y}{3x+6y}.\frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2}\\ =\frac{\left(x-2y\right).{\left(x+2y\right)}^2}{3\left(x+2y\right).\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}\\ =\frac{1}{3}\end{array}$

Ta thấy $M=\frac{1}{3}$ vậy giá trị của biểu thức $M$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Rút gọn biểu thức $N$ ta có:

$\begin{array}{l}N=\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y}\right)\\ =\left(\frac{x\left(x+y\right)}{x+y}-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\left(\frac{x-y}{y\left(x-y\right)}+\frac{2y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =\left(\frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y}\right)\left(\frac{x-y+2y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =\left(\frac{xy-y^2}{x+y}\right)\left(\frac{x+y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =\left(\frac{y\left(x-y\right)}{x+y}\right)\left(\frac{x+y}{y\left(x-y\right)}\right)\\ =1\end{array}$

Ta thấy $N=1$ vậy giá trị của biểu thức $N$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) Rút gọn biểu thức $P$ ta có:

$\begin{array}{l}P=\left(\frac{x^3+y^3}{x+y}-xy\right):\left(x^2-y^2\right)+\frac{2y}{x+y}\\ =\left(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x+y}-xy\right):\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\frac{2y}{x+y}\\ =\left(x^2-xy+y^2-xy\right):\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{x^2+y^2-2xy}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{{\left(x-y\right)}^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}\\ =\frac{x+y}{x+y}=1\end{array}$

Ta thấy $P=1$ vậy giá trị của biểu thức $P$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 18 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Hai máy bay cùng bay quãng đường 600 km. Biết tốc độ của máy bay thứ hai lớn hơn tốc độ của máy bay thứ nhất là 300 km/h. Gọi $x$ (km/h) là tốc độ của máy bay thứ nhất $\left(x>0\right)$. Viết phân thức biểu thị theo $x$.

a) Thời gian máy bay thứ nhất đã bay

b) Thời gian máy bay thứ hai đã bay

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay.

Lời giải:

a) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ nhất đã bay là: $\frac{600}{x}$ (giờ)

b) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ hai đã bay là: $\frac{600}{x+300}$ (giờ)

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là: $\frac{600}{x}:\frac{600}{x+300}=\frac{600}{x}.\frac{x+300}{600}=\frac{x+300}{x}$

Vậy phân thức biểu thị tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là: $\frac{x+300}{x}$.

Bài 19 trang 40 SBT Toán 8 Tập 1: Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là $x\left(m\right)$, chiều rộng là $y\left(m\right)$ với $x>y>4$, bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo $x;y$.

a) Tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa.

b) Tỉ số chu vi mảnh đất và vườn hoa.

 

Lời giải:

Chiều dài của vườn hoa là: $x-2-2=x-4$ (m)

Chiều rộng của vườn hoa là: $y-2-2=y-4$ (m)

a) Diện tích của mảnh vườn là: $xy\left(m^2\right)$

Diện tích vườn hoa là: $\left(x-4\right)\left(y-4\right)=xy-4x-4y+16\left(m^2\right)$

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa là:

$\frac{xy}{xy-4x-4y+16}$

b) Chu vi của mảnh đất là: $2\left(x+y\right)\left(m\right)$

Chu vi của vườn hoa là: $2\left(x-4+y-4\right)=2\left(x+y-8\right)\left(m\right)$

Phân thức biểu thị tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa là: $\frac{2\left(x+y\right)}{2\left(x+y-8\right)}=\frac{x+y}{x+y-8}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số

Bài 2: Mặt phẳng tọa độ. Đồ thị của hàm số