Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Bài 9 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x+2y}{a}+\frac{x-2y}{a}$ với $a$ là một số khác 0

b) $\frac{x}{x-1}+\frac{1}{1-x}$

c) $\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{2}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}$

d) $x+\frac{1}{x+1}-1$

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của biểu thức là $a\ne 0$

$\frac{x+2y}{a}+\frac{x-2y}{a}=\frac{\left(x+2y\right)+\left(x-2y\right)}{a}=\frac{x+2y+x-2y}{a}=\frac{2x}{a}$

b) Điều kiện xác định của biểu thức là $x\ne 1$

$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$

c) Điều kiện xác định của biểu thức là $x\ne -1$

$\begin{array}{l}x+\frac{1}{x+1}-1=\frac{x\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1\left(x+1\right)}{x+1}\\ =\frac{x^2+x+1-x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}\end{array}$

Bài 10 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) $A=x+1-\frac{x^2-4}{x-1}$ tại $x=-4$

b) $B=\frac{1}{5-x}-\frac{x^2+5x}{x^2-25}$ tại $x=99$

c) $C=\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^3-x^2+x-1}$ tại $x=0,7$

d) $D=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{x+2}$ tại $\frac{1}{23}$

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x\ne 1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A=A=x+1-\frac{x^2-4}{x-1}\\ =\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{x^2-4}{x-1}\\ =\frac{x^2-1-\left(x^2-4\right)}{x-1}\\ =\frac{x^2-1-x^2+4}{x-1}=\frac{3}{x-1}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ tại $x=-4$ là: $\frac{3}{-4-1}=\frac{-3}{5}$

b) Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ne \pm 5$

Ta có:

$\begin{array}{l}B=\frac{1}{5-x}-\frac{x^2+5x}{x^2-25}=\frac{-1}{x-5}-\frac{x^2+5x}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}\\ =\frac{-1\left(x+5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}-\frac{x^2+5x}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}\\ =\frac{-1\left(x+5\right)-x^2-5x}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}\\ =\frac{-x-5-x^2-5x}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}\\ =\frac{-\left(x+5\right)-\left(x^2+5x\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}\\ =\frac{-\left(x+5\right)-x\left(x+5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}\\ =\frac{\left(-1-x\right)\left(x+5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=\frac{-1-x}{x-5}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ tại $x=99$ là: $\frac{-1-99}{99-5}=\frac{-50}{47}$

c) Ta có: 

$x^3-x^2+x-1=\left(x^3-x^2\right)+\left(x-1\right)=x^2\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)$

Điều kiện xác định của biểu thức $C$ là: $x\ne 1$

Suy ra

$\begin{array}{l}C=\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^3-x^2+x-1}\\ =\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\\ =\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}-\frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\\ =\frac{x^2+1-2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\\ =\frac{x-1}{x^2+1}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $C$ tại $x=0,7$ là: $\frac{0,7-1}{0,7^2+1}=\frac{-30}{149}$

d) Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $x\ne 0;x\ne -1;x\ne -2$

Ta có:

$\begin{array}{l}D=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{x+2}\\ =\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $D$ tại $x=\frac{1}{23}$ là: $\frac{1}{\frac{1}{23}}=23$

Bài 11 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức: $T=\frac{x^3}{x^2-4}-\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}$

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức $T$

b) Tìm giá trị của $x$ để $T=0$.

c) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $T$ nhận giá trị dương.

Lời giải:

Ta có: $x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$ nên điều kiện xác định của biểu thức $T$ là $x-2\ne 0;x+2\ne 0$ hay $x\ne 2;x\ne -2$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}T=\frac{x^3}{x^2-4}-\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}\\ =\frac{x^3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\\ =\frac{x^3-x^2-2x-2x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^3-x^2-4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\\ =\frac{\left(x^3-4x\right)-\left(x^2-4\right)}{x^2-4}=\frac{x\left(x^2-4\right)-\left(x^2-4\right)}{x^2-4}\\ =\frac{\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)}{x^2-4}=x-1\end{array}$

Suy ra $T=0$ khi $x-1=0$ hay $x=1$ (thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy $x=1$ thì $T=0$

c) Để $T>0$ thì $x-1>0$ hay $x>1$. Kết hợp với $x$ là số nguyên và điều kiện xác định $x\ne 2;x\ne -2$, suy ra $x\in \left\{3;4;5;...\right\}$

Bài 12 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Một tàu tuần tra đi ngược dòng 60km, sau đó tàu đi xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông. Biết tốc độ của dòng nước là 2 km/h. Gọi $x$ (km/h) là tốc độ của tàu tuần tra $\left(x>2\right)$. Viết phân thức biểu thị theo $x$:

a) Thời gian tài tuần tra đi ngược dòng;

b) Thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng;

c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng.

Lời giải:

a) Do tốc độ tàu tuần tra đi ngược dòng là $x-2$ (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng là: $\frac{60}{x-2}$ giờ

b) Do tốc độ tàu tuần tra đi xuôi dòng là $x+2$ (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: $\frac{48}{x+2}$ giờ

c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: $\frac{60}{x-2}-\frac{48}{x+2}=\frac{60\left(x+2\right)-48\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{12x+216}{x^2-4}$ (giờ)

Bài 13 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tằng đồng bào gặp thiên tai. Lúc sắp khởi hành, đội được bổ sung 5 xe cùng loại nữa. Biết khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở là như nhau. Gọi $x$ là số xe mà đội xe dự định dùng $\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$. Viết phân thức biểu thị theo $x$.

a) Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định;

b) Khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế;

c) Hiệu khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mỗi xe phải chở theo thực tế.

Lời giải:

a) Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định là: $\frac{120}{x}$ (tấn)

b) Khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế là: $\frac{120}{x+5}$ (tấn)

c) Hiệu khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mỗi xe phải chở theo thực tế là:

 $\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5}=\frac{120\left(x+5\right)-120x}{x\left(x+5\right)}=\frac{120x+600-120x}{x^2+5x}=\frac{600}{x^2+5x}\left(\tan \right)$ 

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phân thức đại số

Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số