Sách bài tập Toán 11 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 1

Giải SBT Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 1

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1.31 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Đổi số đo góc α = 105° sang rađian ta được

A. $\alpha =\frac{5\pi }{8}$.

B. $\alpha =\frac{\pi }{8}$.

C. $\alpha =\frac{7\pi }{12}$.

D. $\alpha =\frac{9\pi }{12}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có α = 105° = $105.\frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{12}$ rad.

Bài 1.32 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà $\widehat{uOv}$ là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có số nguyên k để $\frac{\pi }{2}+k2\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+k2\pi$.

B. $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$.

C. $-\frac{\pi }{2}<\alpha \le \frac{3\pi }{2}$.

D. $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov nên ta loại trừ đáp án B, C, D (do chưa thể xác định được khoảng cụ thể của góc α.

Mà $\widehat{uOv}$ là góc tù nên $\frac{\pi }{2}<\widehat{uOv}<\frac{3\pi }{2}$.

Vậy tồn tại số nguyên k để $\frac{\pi }{2}+k2\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+k2\pi$.

Bài 1.33 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị $\cot \frac{89\pi }{6}$ bằng

A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. $\sqrt{3}$.

C. $-\sqrt{3}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\cot \frac{89\pi }{6}=\cot \left(\frac{5\pi }{6}+14\pi \right)=\cot \frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$.

Bài 1.34 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin α < 0; cos α > 0.

B. sin α > 0; cos α > 0.

C. sin α < 0; cos α < 0.

D. sin α > 0; cos α < 0. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên α thuộc góc phần tư thứ II, do đó sin α > 0, cos α < 0.

Bài 1.35 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$.

B. $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$.

C. $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$.

D. $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cot x$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo mối quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$; $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$ nên đáp án A và C đúng.

Ta có  nên đáp án B đúng.

Lại có  nên đáp án D sai.

Bài 1.36 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. sin(180° – a) = – cos a.

B. sin(180° – a) = – sin a.

C. sin(180° – a) = sin a.

D. sin(180° – a) = cos a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo mối quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, ta có: sin(180° – a) = sin a.

Bài 1.37 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Biết sin x = $\frac{1}{2}$. Giá trị của cos² x bằng

A. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$.

B. ${\cos }^{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$.

D. ${\cos }^{2}x=\frac{3}{4}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có sin² x + cos² x = 1, suy ra cos² x = 1 – sin² x = $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$.

Bài 1.38 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Biết cot x = $\frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $\frac{4\sin x+5\cos x}{2\sin x-3\cos x}$ bằng

A. $\frac{1}{17}$.

B. $\frac{5}{9}$.

C. 13.

D. $\frac{2}{9}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì cot x = $\frac{1}{2}$ nên sin x ≠ 0, ta chia cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{4\sin x+5\cos x}{2\sin x-3\cos x}$ cho sin x, ta được:

 $\frac{4\sin x+5\cos x}{2\sin x-3\cos x}$$=\frac{4\frac{\sin x}{\sin x}+5\frac{\cos x}{\sin x}}{2\frac{\sin x}{\sin x}-3\frac{\cos x}{\sin x}}=\frac{4+5\cot x}{2-3\cot x}=\frac{4+5.\frac{1}{2}}{2-3.\frac{1}{2}}=13$.

Bài 1.39 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $\cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

B. $\cos u-\cos v=2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

C. $\sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

D. $\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Công thức biến đổi tổng thành tích:

$\cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

$\cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

$\sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

$\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$.

Vậy đáp án B sai.

Bài 1.40 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 2a = 2sin a cos a.

B. cos 2a = cos² a – sin² a.

C. cos 2a = 1 – 2sin² a.

D. tan 2a = $\frac{2\tan a}{1+{\tan }^{2}a}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Công thức nhân đôi:

sin 2a = 2sin a cos a.

cos 2a = cos² a – sin² a = 1 – 2sin² a.

tan 2a = $\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$.

Vậy đáp án D sai.

Bài 1.41 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-\cos x}$ là

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\sqrt{1-\cos x}$ xác định khi 1 – cos x ≥ 0.

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-\cos x}$ là D = ℝ.

Bài 1.42 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (– π; 0) và đồng biến khoảng (0; π).

B. Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).

C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên các khoảng (– π; 0) và (0; π).

D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (– π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), k ∈ ℤ.

Do đó, hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).

Bài 1.43 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tập xác định của hàm số y = tan x là 

B. Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ với mọi k ∈ ℤ.

C. Tập giá trị của hàm số y = tan x là $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

D. Hàm số y = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết, ta có các đáp án A, B, D đúng.

Lại có tập giá trị của hàm số y = tan x là ℝ nên đáp án C sai.

Bài 1.44 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y = cos x.

B. y = sin³ x .

C. y = sin x.

D. y = tan x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bài 1.45 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.

C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.

D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π nên đáp án C sai.

Bài 1.46 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sin x cos 2x là hàm số tuần hoàn.

B. Hàm số y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

C. Hàm số y = x sin x là hàm số tuần hoàn.

D. Hàm số y = x sin x là hàm số chẵn.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án:

+) Hàm số y = sin x cos 2x có tập xác định D = ℝ.

– Ta có ∀ x ∈ D thì x + 2π ∈ D và x – 2π ∈ D, hơn nữa

f(x + 2π) = sin(x + 2π) cos(2x + 2π) = sin x cos 2x = f(x).

Vậy hàm số y = sin x cos 2x là hàm số tuần hoàn nên đáp án A đúng.

– Ta có ∀ x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = sin(– x) . cos(– 2x) = – sin x . cos 2x = – f(x).

Do đó hàm số y = sin x cos 2x là hàm số lẻ nên đáp án B đúng.

+) Hàm số y = x sin x có tập xác định D = ℝ.

Ta có ∀ x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = (– x) . sin(– x) = x sin x = f(x).

Do đó hàm số y = x sin x là hàm số chẵn nên đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Bài 1.47 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. cos x = – 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ).

B. sin x = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ).

C. tan x = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ).

D. cos x = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + k2π (k ∈ ℤ).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

+) cos x = – 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ) nên đáp án A đúng.

+) sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ) nên đáp án B sai, từ đó suy ra đáp án C sai.

+) cos x = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ (k ∈ ℤ) nên đáp án D sai.

Bài 1.48 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình $2\cos x=\sqrt{3}$ trên đoạn  là

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $2\cos x=\sqrt{3}$$\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{6}$$\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vì  nên:

+ Với $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ thì $0\le \frac{\pi }{6}+k2\pi \le \frac{5\pi }{2}\iff -\frac{1}{12}\le k\le \frac{7}{6}$ , mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k ∈ {0; 1}.

+ Với $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ thì $0\le -\frac{\pi }{6}+k2\pi \le \frac{5\pi }{2}\iff \frac{1}{12}\le k\le \frac{4}{3}$, mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k = 1.

Vậy phương trình $2\cos x=\sqrt{3}$ có 3 nghiệm trên đoạn .

Bài 1.49 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3cos x – 1 = 0 bằng

A. S = 2π.

B. S = 0.

C. S = 4π.

D. S = 3π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 3cos x – 1 = 0 $\iff \cos x=\frac{1}{3}$$\iff \cos x\approx \cos \left(\mathrm{0,392}\pi \right)$

Mà x ∈ (0; 2π) nên x ≈ 0,392π hoặc x ≈ – 0,392π + 2π.

 Vậy tổng các nghiệm cần tìm là S = 0,392π + (– 0,392π + 2π) = 2π.

Bài 1.50 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hai hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi sin 3x = sin x

B. TỰ LUẬN

Bài 1.51 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.

a) $\frac{23\pi }{4}$;                          b) $\frac{31\pi }{6}$;                          c) – 1 380°.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{23\pi }{4}=6\pi -\frac{\pi }{4}$. Góc $\frac{23\pi }{4}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{23\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \frac{23\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\tan \frac{23\pi }{4}=\cot \frac{23\pi }{4}=-1$.

b) Ta có $\frac{31\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}+4\pi$. Góс $\frac{31\pi }{6}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$> trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{31\pi }{6}=-\frac{1}{2};\cos \frac{31\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\tan \frac{31\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\cot \frac{31\pi }{6}=\sqrt{3}$. 

c) Ta có – 1 380° = − 4 . 360° + 60°. Góc –1 380° được biểu diễn bởi điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy sin(– 1 380°) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos(– 1 380°) = $\frac{1}{2}$; tan(– 1 380°) = $\sqrt{3}$ và cot(– 1 380°) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài 1.52 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.

Lời giải:

+) Trong 15 phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4}$ độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot R=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot \mathrm{1,75}=\frac{7\pi }{8}\approx \mathrm{2,75}\left(m\right)$.

+) Trong 15 phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{48}$ đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{48}\cdot 2\pi \cdot R^{‘}=\frac{1}{48}\cdot 2\pi \cdot \mathrm{1,26}=\frac{21\pi }{400}\approx \mathrm{0,16}\left(m\right)$.

Bài 1.53 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105° kinh đông, nhưng Quản Bạ ở 23° vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9° bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính 6 378 km.

Lời giải:

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng 23° – 9° = 14°.

Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng $\frac{6378\cdot 14\cdot \pi }{180}\approx 1558\left(km\right)$.

Bài 1.54 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos α = $\frac{3}{4}$, sin α > 0; sin β = $\frac{3}{5}$, $\beta \in \left(\frac{9\pi }{2};5\pi \right)$. Hãy tính cos 2α, sin 2α, cos 2β, sin 2β, cos (α + β), sin (α – β).

Lời giải:

Ta có cos 2α = 2 cos² α – 1 = $2.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2-1=\frac{1}{8}$.

Ta có sin² α = 1 – cos² a = $1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$= $\frac{7}{16}$.  

Lại do sin α > 0 nên sin α = $\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Suy ra sin 2α = 2 sin α cos α = $2.\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$.

Ta có cos 2β = 1 – 2 sin² β = $1-2.{\left(\frac{3}{5}\right)}^2$ = $\frac{7}{25}$.

Ta có cos² β = 1 – sin² β = $1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2$= $\frac{16}{25}$.

Lại do $\beta \in \left(\frac{9\pi }{2};5\pi \right)$ nên cos β < 0, do đó $\cos \beta =-\frac{4}{5}$.

Suy ra sin 2β = 2 sin β cos β = $2.\frac{3}{5}.\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$.

Ta có 

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β = $\frac{3}{4}.\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-12-3\sqrt{7}}{20}$.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β = $\frac{\sqrt{7}}{4}.\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{3}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-9-4\sqrt{7}}{20}$.

Bài 1.55 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau

a) $\frac{\sin \left(45°+\alpha \right)-\cos \left(45°+\alpha \right)}{\sin \left(45°+\alpha \right)+\cos \left(45°+\alpha \right)}$;

b) $\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }$;

c) $\frac{1+\cos \alpha -\sin \alpha }{1-\cos \alpha -\sin \alpha }$;

d) $\frac{\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }$.

Lời giải:

a) $\frac{\sin \left(45°+\alpha \right)-\cos \left(45°+\alpha \right)}{\sin \left(45°+\alpha \right)+\cos \left(45°+\alpha \right)}$

$=\frac{\left(\sin 45°\cos \alpha +\cos 45°\sin \alpha \right)-\left(\cos 45°\cos \alpha -\sin 45°\sin \alpha \right)}{\left(\sin 45°\cos \alpha +\cos 45°\sin \alpha \right)+\left(\cos 45°\cos \alpha -\sin 45°\sin \alpha \right)}$

$=\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)}$

$=\frac{\sqrt{2}\sin \alpha }{\sqrt{2}\cos \alpha }=\tan \alpha$.

b) $\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }$

$=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha }{1+\left(2{\cos }^2\alpha -1\right)+\cos \alpha }$

$=\frac{2\sin \alpha \left(\cos \alpha +1\right)}{2\cos \alpha \left(\cos \alpha +1\right)}$

$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$.

c) $\frac{1+\cos \alpha -\sin \alpha }{1-\cos \alpha -\sin \alpha }$

$=\frac{1+\left(2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1\right)-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{1-\left(1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\right)-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{2\cos \frac{\alpha }{2}\left(\cos \frac{\alpha }{2}-\sin \frac{\alpha }{2}\right)}{2\sin \frac{\alpha }{2}\left(\sin \frac{\alpha }{2}-\cos \frac{\alpha }{2}\right)}$

$=-\frac{\cos \frac{\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}=-\cot \frac{\alpha }{2}$.

d) $\frac{\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }$

$=\frac{\left(\sin 5\alpha +\sin \alpha \right)+\sin 3\alpha }{\left(\cos 5\alpha +\cos \alpha \right)+\cos 3\alpha }$

$=\frac{2\sin \frac{5\alpha +\alpha }{2}\cos \frac{5\alpha -\alpha }{2}+\sin 3\alpha }{2\cos \frac{5\alpha +\alpha }{2}\cos \frac{5\alpha -\alpha }{2}+\cos 3\alpha }$

$=\frac{2\sin 3\alpha \cos 2\alpha +\sin 3\alpha }{2\cos 3\alpha \cos 2\alpha +\cos 3\alpha }$

$=\frac{\sin 3\alpha \left(2\cos 2\alpha +1\right)}{\cos 3\alpha \left(2\cos 2\alpha +1\right)}$

$=\frac{\sin 3\alpha }{\cos 3\alpha }=\tan 3\alpha$.

Bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) $A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$;

b) $B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;

c) $C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;

d) $D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x$.

Lời giải:

a) Cách 1:

$A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\left(\sin \frac{\pi }{4}\cos x+\cos \frac{\pi }{4}\sin x\right)-\left(\cos \frac{\pi }{4}\cos x+\sin \frac{\pi }{4}\sin x\right)$

$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Cách 2:

$A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) $B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

$=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

c) $C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\cos \left(-2x\right)\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos 2x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-2{\sin }^{2}x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}\forall x$.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

d) $D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x$

$=\frac{1-\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x\cos x}{1+\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+2\sin x\cos x}.\cot x$

$=\frac{2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x}.\cot x$

$=\frac{2\sin x\left(\sin x+\cos x\right)}{2\cos x\left(\cos x+\sin x\right)}.\cot x$

$=\frac{\sin x}{\cos x}.\cot x=\tan x.\cot x=1\forall x$.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Bài 1.57 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

f1(t) = C sin ωt và f2(t) = C sin(ωt + α).

Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra một âm kết hợp có phương trình

f(t) =  f1(t) + f2(t) = C sin ωt + C sin(ωt + α).

a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm f(t) có thể viết được dưới dạng f(t) = A sin ωt + B cos ωt, ở đó A, B là hai hằng số phụ thuộc vào α.

b) Khi C = 10 và $\alpha =\frac{\pi }{3}$, hãy tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số k và φ sao cho f(t) = k sin(ωt + φ).

Lời giải:

a) Ta có f(t) = f1(t) + f­­2(t)

= C sin ωt + C sin(ωt + α)

= C sin ωt + C(sin ωt cos α + cos ωt sin α)

= C sin ωt + C sin ωt cos α + C cos ωt sin α

= C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt.

Vậy f(t) = C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt với A = C(1 + cos α) và B = C sin α.

b) Khi C = 10 và $\alpha =\frac{\pi }{3}$ ta có

$f\left(t\right)=10\sin \omega t+10\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{3}\right)$

$=10.2\sin \frac{\omega t+\omega t+\frac{\pi }{3}}{2}\cos \frac{\omega t-\omega t-\frac{\pi }{3}}{2}$

$=20\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$=10\sqrt{3}\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là $k=10\sqrt{3}$ và $\phi =\frac{\pi }{6}$.

Bài 1.58 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\cos \frac{2x}{x-1}$;

b) $y=\frac{1}{\cos x-\cos 3x}$;

c) $y=\frac{1}{\cos x+\sin 2x}$;

d) y = tan x + cot x.

Lời giải:

a) Biểu thức $\cos \frac{2x}{x-1}$ có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là .

b) Biểu thức $\frac{1}{\cos x-\cos 3x}$ có nghĩa khi cos x – cos 3x ≠ 0 hay cos x ≠ cos 3x

⇔ 3x ≠ ± x + k2π (k ∈ ℤ) ⇔ x ≠ k$\frac{\pi }{2}$(k ∈ ℤ). .

Vậy tập xác định của hàm số là .

c) Biểu thức $\frac{1}{\cos x+\sin 2x}$ có nghĩa khi cos x + sin 2x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ – sin 2x

⇔ cos x ≠ sin (– 2x) $\iff \cos x\ne \cos \left(\frac{\pi }{2}-\left(-2x\right)\right)$ $\iff \cos x\ne \cos \left(\frac{\pi }{2}+2x\right)$

Vậy tập xác định của hàm số là .

d) Biểu thức tan x + cot x có nghĩa khi

Vậy tập xác định của hàm số là .

Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) y = sin x + sin$\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$;

c) y = sin⁴ x + cos⁴ x;

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Lời giải:

a) Ta có y = sin x – cos x = $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Vì $-1\le \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$, với mọi $x\in ℝ$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$, đạt được khi $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1$

$\iff x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ $\iff x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$>.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ $\iff x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) Ta có y = sin x + sin$\left(\frac{\pi }{3}-x\right)$ $=2\sin \frac{x+\frac{\pi }{3}-x}{2}\cos \frac{x-\frac{\pi }{3}+x}{2}$

$=2\sin \frac{\pi }{6}\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$$=2.\frac{1}{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$.

Ta có $-1\le \cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1\forall x\in ℝ$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=1$$\iff x-\frac{\pi }{6}=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$$\iff x-\frac{\pi }{6}=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Ta có y = sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² – 2sin² x cos² x

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1-2.{\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)}^2$= $1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$ 

= $1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4x}{2}$ = $1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x$ = $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x$.

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên $-\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}\cos 4x\le \frac{1}{4}$, do đó $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\le \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x\le \frac{3}{4}+\frac{1}{4}$

hay $\frac{1}{2}\le \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x\le 1\forall x\in ℝ$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)

$\iff x=k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$, đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos² x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos² x + 2cos x – 2

= 2t² + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t² + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\frac{5}{2}$, đạt được khi $\cos x=-\frac{1}{2}$$\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 1.60 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin³ x – cot x;

b) $y=\frac{\cos x+{\tan }^{2}x}{\cos x}$;

c) y = sin 2x + cos x;

d) $y=2\cos \left(\frac{3\pi }{4}+x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số y = sin³ x – cot x là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Nếu kí hiệu f(x) = sin³ x + cot x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin³ (–x) – cot(– x) = – sin³ x + cot x = –  (sin³ x – cot x) = – f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số $y=\frac{\cos x+{\tan }^{2}x}{\cos x}$ là 

Nếu kí hiệu $f\left(x\right)=\frac{\cos x+{\tan }^{2}x}{\cos x}$ thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

$f\left(-x\right)=\frac{\cos \left(-x\right)+{\tan }^2\left(-x\right)}{\cos \left(-x\right)}=\frac{\cos x+{\left(-\tan x\right)}^2}{\cos x}=\frac{\cos x+{\tan }^{2}x}{\cos x}=f\left(x\right)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = sin 2x + cos x là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = sin 2x + cos x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin [2(– x)] + cos (– x) = – sin 2x + cos x ≠ ± f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

d) Tập xác định của hàm số $y=2\cos \left(\frac{3\pi }{4}+x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ là D = ℝ.

Ta có $y=2\cos \left(\frac{3\pi }{4}+x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\sin \pi +\sin \left(-\frac{\pi }{2}-2x\right)$$=0-\sin \left(\frac{\pi }{2}+2x\right)$

Nếu kí hiệu $f\left(x\right)=2\cos \left(\frac{3\pi }{4}+x\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=-\cos 2x$ thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và f(– x) = – cos (– 2x) = – cos 2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Bài 1.61 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = sin$\frac{x}{2}$ + cos 3x;

b) y = cos 5x + tan$\frac{x}{3}$.

Lời giải:

a) Hàm số y = sin$\frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì T₁ = $\frac{2\pi }{\frac{1}{2}}=4\pi$, hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì T₂ = $\frac{2\pi }{3}$. Ta có $4\pi =6\cdot \frac{2\pi }{3}$.

Ta chỉ ra rằng hàm số f(x) = = sin$\frac{x}{2}$ + cos 3x tuần hoàn như sau:

$f\left(x+4\pi \right)=\sin \frac{x+4\pi }{2}+\cos 3\left(x+4\pi \right)$

          $=\sin \left(\frac{x}{2}+2\pi \right)+\cos \left(3x+12\pi \right)$

          $=\sin \frac{x}{2}+\cos 3x=f\left(x\right)\forall x\in ℝ$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π.

b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì T₁ = $\frac{2\pi }{5}$, hàm số y = tan$\frac{x}{3}$ hoàn với chu kì $T_2=\frac{\pi }{\frac{1}{3}}=3\pi$.

Ta có $6\pi =2\times 3\pi =15\times \frac{2\pi }{5}$.

Ta có thể chỉ ra hàm số f(x) = cos5x + tan$\frac{x}{3}$ tuần hoàn như sau

$f\left(x+6\pi \right)=\cos 5\left(x+6\pi \right)+\tan \frac{x+6\pi }{3}$

          $=\cos \left(5x+30\pi \right)+\tan \left(\frac{x}{3}+2\pi \right)$$=\cos 5x+\tan \frac{x}{3}=f\left(x\right)\forall x\in ℝ$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 6π.

Bài 1.62 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sin 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) $\tan \left(\frac{x}{3}+10°\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$;

c) sin 3x – cos 5x = 0;

d) tan 3x tan x = 1.

Lời giải:

a) Ta có $\sin 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin 3x=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

b) Ta có $\tan \left(\frac{x}{3}+10°\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff \tan \left(\frac{x}{3}+10°\right)=\tan \left(-30°\right)$

⇔ $\frac{x}{3}$ + 10° = – 30° + k180°  (k ∈ ℤ)

⇔ x = – 120° + k540° (k ∈ ℤ).

c) Ta có sin 3x – cos 5x = 0

⇔ sin 3x = cos 5x

$\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-5x\right)$

d) Điều kiện cos 3x ≠ 0 và cos x ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 0 .

Ta có tan 3x tan x = 1

$\iff \tan 3x=\frac{1}{\tan x}$

⇔ tan 3x = cot x

$\iff \tan 3x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$\iff 3x=\frac{\pi }{2}-x+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ta thấy $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 1.63 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin 5x + cos 5x = – 1;

b) cos 3x – cos 5x = sin x;

c) 2 cos² x + cos 2x = 2;

d) sin⁴ x + cos⁴ x = $\frac{1}{2}$sin² 2x.

Lời giải:

a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1

$\iff \sqrt{2}\sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x

$\iff -2\sin \frac{3x+5x}{2}\sin \frac{3x-5x}{2}=\sin x$

$\iff -2\sin 4x\sin \left(-x\right)=\sin x$

$\iff 2\sin 4x\sin x-\sin x=0$

$\iff \sin x\left(2\sin 4x-1\right)=0$

+ Với sin x = 0 ta được x = kπ (k ∈ ℤ).

+ Với $\sin 4x=\frac{1}{2}$$\iff \sin 4x=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$

c) Ta có 2 cos² x + cos 2x = 2

⇔ (2 cos² x – 1) + cos 2x = 1

⇔ cos 2x + cos 2x = 1

⇔ 2cos 2x = 1

⇔ cos 2x = $\frac{1}{2}$

⇔ cos 2x = $\cos \frac{\pi }{3}$

⇔ 2x = $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = $\frac{1}{2}$sin² 2x

$\iff {\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff 1-\frac{1}{2}{\left(2\sin x\cos x\right)}^2=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff 1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff {\sin }^{2}2x=1$

$\iff \cos 2x=0$  (do sin² 2x + cos² 2x = 1)

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 1.64 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.

a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức

S(θ) = 450 sin 2θ (cm²),

ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.

b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.

Lời giải:

a) Mặt cắt của thanh xà gồ (hình dưới) là hình chữ nhật có hai kích thước là

AB = 30cos θ và BC = 30sin θ.

Vậy diện tích mặt cắt là S = AB ∙ BC = 30cos θ ∙ 30sin θ = 450sin 2θ.

b) Vì – 1 ≤ sin 2θ ≤ 1 nên ta có S = 450sin 2θ ≤ 450.

Vậy diện tích mặt cắt của thanh xà gồ lớn nhất khi sin 2θ = 1 hay góc θ = 45°.

Bài 1.65 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số

$P\left(t\right)=100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)$

ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.

a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg

Lời giải:

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

$P\left(t\right)=100\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=100$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0$$\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3k}{7}<1\iff 0<k<\frac{7}{3}$. Suy ra k ∈ {1; 2} vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

$P\left(t\right)=120\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=120$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=1$$\iff \frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}<1\iff -\frac{1}{4}<k<\frac{11}{12}$. Suy ra k = 0 vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

$P\left(t\right)=100\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=100$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0$$\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3k}{7}<1\iff 0<k<\frac{7}{3}$. Suy ra k ∈ {1; 2} vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

$P\left(t\right)=120\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=120$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=1$$\iff \frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}<1\iff -\frac{1}{4}<k<\frac{11}{12}$. Suy ra k = 0 vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.