Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Kết nối tri thức): Công thức lượng giác

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.10 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc 105°.

Lời giải:

cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°

$= \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ .

sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

$= \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Do đó, $\tan 105 ° = \frac{\sin 105 °}{\cos 105 °} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}, \cot 105 ° = \frac{1}{\tan 105 °} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

Bài 1.11 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos 2x = $- \frac{4}{5}$ với $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ . Tính sin x, cos x, $\sin (x + \frac{π}{3})$ , $\cos (2 x - \frac{π}{4})$ .

Lời giải:

Vì $\frac{π}{4}$ < x < $\frac{π}{2}$ nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

$\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2} = \frac{1 - (- \frac{4}{5})}{2} = \frac{9}{10}$ ⇒ sin x = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ .

$\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2} = \frac{1 + (- \frac{4}{5})}{2} = \frac{1}{10}$ ⇒ cos x = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = $2. \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Theo công thức cộng, ta có

$\sin (x + \frac{π}{3}) = \sin x \cos \frac{π}{3} + \cos x \sin \frac{π}{3} = \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{10}} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{10}}$

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = \cos 2 x \cos \frac{π}{4} + \sin 2 x \sin \frac{π}{4} = (- \frac{4}{5}) . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{5} . \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{10}$

Bài 1.12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau

$\sin^{4} a + \cos^{4} a = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 a$ .

Lời giải:

sin⁴ a + cos⁴ a = (sin² a + cos² a)² – 2sin² a cos² a

= 1 – 2 . (sin a cos a)²

= $1 - 2. {(\frac{\sin 2 a}{2})}^{2} = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 a$

$= 1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 a}{2} = 1 - \frac{1 - \cos 4 a}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 a$

Vậy $\sin^{4} a + \cos^{4} a = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 a$ .

Bài 1.13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \sin \frac{π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} + \sin \frac{7 π}{9}$ ;

b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Lời giải:

a) $A = \sin \frac{π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} + \sin \frac{7 π}{9}$

$= (\sin \frac{π}{9} + \sin \frac{7 π}{9}) - \sin \frac{5 π}{9}$

$= 2 \sin \frac{\frac{π}{9} + \frac{7 π}{9}}{2} . \cos \frac{\frac{π}{9} - \frac{7 π}{9}}{2} - \sin \frac{5 π}{9}$

$= 2 \sin \frac{4 π}{9} . \cos \frac{π}{3} - \sin \frac{5 π}{9}$

$= \sin \frac{4 π}{9} - \sin \frac{5 π}{9}$

$= \sin (π - \frac{4 π}{9}) - \sin \frac{5 π}{9}$

$= \sin \frac{5 π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} = 0$ .

Vậy A = 0.

b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên

B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.

Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:

cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°

= $\frac{1}{2} \sin 12 °$ cos 12° cos 24° cos 48°

= $\frac{1}{4}$ sin 24° cos 24° cos 48°

= $\frac{1}{8}$ sin 48° cos 48°

= $\frac{1}{16}$ sin 96°

= $\frac{1}{16}$ sin(90° + 6°) = $\frac{1}{16}$ cos 6°.

Vậy B = $\frac{1}{16}$ .

Bài 1.14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $\cos a - \sin a = \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4})$ ;

b) $\sin a + \sqrt{3} \cos a = 2 \sin (a + \frac{π}{3})$ .

Lời giải:

a) $V P = \sqrt{2} \cos (a + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} (\cos a \cos \frac{π}{4} - \sin a \sin \frac{π}{4})$

$= \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a)$

$= \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a - \sin a) = \cos a - \sin a = V T$ .

b) $V P = 2 \sin (a + \frac{π}{3}) = 2 (\sin a \cos \frac{π}{3} + \cos a \sin \frac{π}{3})$

$= 2 (\frac{1}{2} \sin a + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a)$ $= \sin a + \sqrt{3} \cos a = V T$ .

Bài 1.15 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = $4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ .

Lời giải:

$V T = \sin A + \sin B + \sin C = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ .

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{A + B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}$ .

Từ đó suy ra: $\sin \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}, \sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A + B}{2}$ .

Vậy $V T = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$

$= 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{C}{2}$

$= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \cos \frac{A + B}{2})$

$= 2 \cos \frac{C}{2} .2 \cos \frac{\frac{A - B}{2} + \frac{A + B}{2}}{2} \cos \frac{\frac{A - B}{2} - \frac{A + B}{2}}{2}$

$= 4 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2} \cos (- \frac{B}{2})$

$= 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = V P$ (điều phải chứng minh).

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy