Chứng minh rằng phương trình x5 − 3x − 7 = 0 luôn có nghiệm

Câu hỏi:

Chứng minh rằng phương trình $x^5 - 3x - 7 = 0$ luôn có nghiệm

Trả lời:

$Xét f\left(x\right) = x^5 - 3x - 7 và hai số 0; 2.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số f(x) = x-1xxVẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{\left(x–1\right)\left|x\right|}{x}$Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

   Trả lời:

   Hàm số này có tập xác định là R \ {0}Từ đồ thị (H.7) dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng (−∞;0), (0; +∞) nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,- Với x > 0, f(x) = x − 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (0; +∞)- Với x < 0, f(x) = 1 – x cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên (−∞; 0)Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)

   Trả lời:

   Xét hàm số– Trường hợp x ≤ 0f(x) = x + 2 là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]- Trường hợp x > 0$f\left(x\right) = 1 / x^2$ là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (2; 0) thuộc tập xác định của nó.Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)Tuy nhiên, vì  nên hàm số f(x) không cógiới hạn hữu hạn tại x = 0. Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

   Trả lời:

   Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và (1)Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và (2)Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì  ). Nghĩa là nó liên tục trên (a; c)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0Chứng minh rằng nếu limx→x0 f(x) – f(x0)x – x0 = L thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0Đặt g(x) = f(x) – f(x0 )x – x0 – L  và biểu diễn f(x) qua g(x)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$Chứng minh rằng nếu $\lim x\to x_0 \frac{f\left(x\right) – f\left(x_0\right)}{x – x_0} = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_0$Đặt $g\left(x\right) = \frac{f\left(x\right) – f(x_0 )}{x – x_0} – L$  và biểu diễn f(x) qua g(x)

   Trả lời:

   Đặt Suy ra g(x) xác định trên $(a;b) \backslash \left\{x_0\right\}$ và Mặt khác, $f\left(x\right) = f\left(x_0\right) + L(x - x_0) + (x - x_0)g\left(x\right)$ nênVậy hàm số y = f(x) liên tục tại

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Xét tính liên tục của các hàm số sau: f(x) = x + 5 tại x = 4
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính liên tục của các hàm số sau: $f\left(x\right) = \sqrt{x + 5} tại x = 4$

   Trả lời:

   Hàm số  có tập xác định là [-5; +∞). Do đó, nó xác định trên khoảng (-5; +∞) chứa x = 4Vì  nên f(x) liên tục tại x = 4

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====