SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản | Giải SBT Toán lớp 11

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.14 trang 23 SBT Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình:

a) $\sin 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\sin (2x-{15}^o)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\sin (\frac{x}{2}+{10}^o)=-\frac{1}{2}$

d) $\sin 4x=\frac{2}{3}$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình $\sin x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=\pi -\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 b)

Phương trình $sinx=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có ${\beta }^o$ thỏa mãn $\sin {\beta }^o=a$
trong đó ${\beta }^o=\arcsin a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x={\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x={180}^o-{\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

c)

Phương trình $sinx=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có ${\beta }^o$ thỏa mãn $\sin {\beta }^o=a$

trong đó ${\beta }^o=\arcsin a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x={\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x={180}^o-{\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

d)

Phương trình $sinx=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =a$

trong đó $\alpha =\arcsin a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x=\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=\pi -\arcsin a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lời giải:

a) Ta có: $-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}))$

$=\sin (-\frac{\pi }{3})$

Khi đó: $\sin 3x=\sin (-\frac{\pi }{3})$

$\iff [\begin{array}{l}3x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 3x=\pi -(-\frac{\pi }{3})+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{4\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ và $x=\frac{4\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

b)

Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin ({45}^o)$

Khi đó: $\sin (2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)$

$\iff [\begin{array}{l}2x-{15}^o={45}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o={135}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x={30}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}\\ x={75}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x={30}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$ và $x={75}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

 c)

Ta có: $-\frac{1}{2}=\sin (-{30}^o)$

Khi đó: $\sin (\frac{x}{2}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)$

$\iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}+{10}^o=-{30}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\\ \frac{x}{2}+{10}^o={210}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=-{80}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}\\ x={400}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x=-{80}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x={400}^o+k{720}^o,k\in \mathbb{Z}$

 d)

Ta có: $\frac{2}{3}=\sin (\arcsin \frac{2}{3})$

Khi đó: $\sin 4x=\sin (\arcsin \frac{2}{3})$

$\iff [\begin{array}{l}4x=\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 4x=\pi -\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{3}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{3}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{3}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

và $x=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{3}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Bài 1.15 trang 23 SBT Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình:

 a) $\cos (x+3)=\frac{1}{3}$

b) $\cos (3x-{45}^o)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

c) $\cos (2x+\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$

d) $(2+\cos x)(3\cos 2x-1)=0$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

b)

Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ có ${\beta }^o$ thỏa mãn $\cos {\beta }^o=a$
trong đó ${\beta }^o=\arccos a$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x=\pm {\beta }^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$

c)

Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

d)

Sử dụng công thức $f(x)g(x)=0$

$\iff [\begin{array}{l}f(x)=0\\ g(x)=0\end{array}$

Phương trình $\cos x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lời giải:

a) $\cos (x+3)=\frac{1}{3}$

$\iff x+3=\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi$

$\iff x=-3\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là

$x=-3\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 b)

Ta có: $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos {30}^o$

Khi đó: $\cos (3x-{45}^o)=\cos {30}^o$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}3x-{45}^0={30}^0+k{360}^0\\ 3x-{45}^0=-{30}^0+k{360}^0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}3x={75}^0+k{360}^0\\ 3x={15}^0+k{360}^0\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x={25}^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}\\ x=5^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x={25}^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}$

và $x=5^o+k{120}^o,k\in \mathbb{Z}$

 c)

Ta có: $-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}\\ \iff [\begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=-\pi +k2\pi \end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 d)

Ta có: $(2+\cos x)(3\cos 2x-1)=0$

$\iff [\begin{array}{l}2+\cos x=0(1)\\ 3\cos 2x-1=0(2)\end{array}$

$(1)\iff \cos x=-2$ (vô nghiệm)

$(2)\iff \cos 2x=\frac{1}{3}$

$\iff 2x=\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x=\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Bài 1.16 trang 24 SBT Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình:

a) $\tan (2x+{45}^o)=-1$

b) $\cot (x+\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}$

c) $\tan (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})=\tan \frac{\pi }{8}$

d) $\cot (\frac{x}{3}+{20}^o)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Phương pháp giải:

a) Phương trình: $\tan x=\tan {\beta }^o$ có nghiệm là $x={\beta }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

b)

Phương trình: $\cot x=\cot \alpha$ có nghiệm là $x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Sử dụng: $\cot \alpha =a$ khi đó $\tan \alpha =\frac{1}{a}$

Khi đó $\alpha =\arctan \frac{1}{a}=\text{arccot}a$

c)

Phương trình $\tan x=\tan \alpha$

Có nghiệm là: $x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

d)

Phương trình: $\cot x=\cot {\beta }^o$ có nghiệm là $x={\beta }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

Sử dụng: $\cot {\beta }^o=a$ khi đó $\tan {\beta }^o=\frac{1}{a}$

Khi đó ${\beta }^o=\arctan \frac{1}{a}=\text{arccot}a$

Lời giải:

a)

Ta có: $-1=\tan ({-45}^o)$

Khi đó: $\tan (2x+{45}^o)=\tan ({-45}^o)$

$\iff 2x+{45}^o={-45}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

$\iff 2x=-{90}^0+k{180}^0,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={-45}^o+k{90}^o,k\in \mathbb{Z}$

Phương trình có nghiệm là:

$x={-45}^o+k{90}^o,k\in \mathbb{Z}$.

 b)

Ta có: $\sqrt{3}=\cot \frac{\pi }{6}$

Khi đó: $\cot (x+\frac{\pi }{3})=\cot \frac{\pi }{6}$

$\iff x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 c)

Ta có: $\tan (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})=\tan \frac{\pi }{8}$

$\iff \frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \frac{x}{2}=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d)

Ta có: $-\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot (-{60}^o)$

Khi đó: $\cot (\frac{x}{3}+{20}^o)=\cot (-{60}^o)$

$\iff \frac{x}{3}+{20}^o=-{60}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \frac{x}{3}=-{80}^0+k{180}^0,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={-240}^o+k{540}^o,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x={-240}^o+k{540}^o,k\in \mathbb{Z}$.

Bài 1.17 trang 24 SBT Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình

a) $\cos 3x-\sin 2x=0$

b) $\tan x\tan 2x=-1$

c) $\sin 3x+\sin 5x=0$

d) $\cot 2x\cot 3x=1$.

Phương pháp giải:

a) Đưa phương trình về dạng $\cos a=\cos b$

Khi đó $a=\pm b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b)

Tìm điều kiện xác định của $\tan x$ và $\tan 2x$ là $\cos x\ne 0$ và $\cos 2x\ne 0$

Biến đổi $\tan x=\frac{sinx}{\cos x}$

Áp dụng công thức cosin của một hiệu: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

c)

Đưa phương trình về dạng $\sin a=\sin b$

Khi đó $a=b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $a=\pi -b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d)

Tìm điều kiện xác định của $\cot 2x$ và $\cot 3x$ là $\sin 2x\ne 0$ và $\sin 3x\ne 0$

Biến đổi $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Áp dụng công thức cosin của một tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Tìm điều kiện xác định của $\cot 2x$ và $\cot 3x$ là $\sin 2x\ne 0$ và $\sin 3x\ne 0$

Biến đổi $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Áp dụng công thức cosin của một tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Lời giải:

a) Ta có: $\cos 3x-\sin 2x=0$

$\iff \cos 3x=\sin 2x$

$\iff \cos 3x=\cos (\frac{\pi }{2}-2x)$

$\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ 3x=-\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$

và $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 b)

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos 2x\ne 0\end{array}$

Ta có: $\tan x\tan 2x=-1$

$\iff \frac{\sin x}{\cos x}\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1$

$\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x$

$\iff \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0$

$\iff \cos (2x-x)=0$

$\iff \cos x=0$

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

 c)

Ta có: $\sin 3x+\sin 5x=0$

$\iff \sin 5x=-\sin 3x$

$\iff \sin 5x=\sin (-3x)$

$\iff [\begin{array}{l}5x=-3x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 5x=\pi -(-3x)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}8x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 2x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$x=k\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

và $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Cách khác:

sin3x + sin5x = 0

⇔ 2sin4x. cosx = 0

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}\sin 4x=0\\ \cos x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}4x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}$

 d)

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \sin 3x\ne 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2x\ne m\pi ,m\in \mathbb{Z}\\ 3x\ne m\pi ,m\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ne m\frac{\pi }{2},m\in \mathbb{Z}\\ x\ne m\frac{\pi }{3},m\in \mathbb{Z}\end{array}$

Ta có: $\cot 2x\cot 3x=1$

$\iff \frac{\cos 2x}{\sin 2x}\frac{\cos 3x}{\sin 3x}=1$

$\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x$

$\iff \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0$

$\iff \cos (2x+3x)=0$

$\iff \cos 5x=0$

$\iff 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$

Với điều kiện ở trên khi đó:

$\iff \{\begin{array}{l}\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}\ne m\frac{\pi }{2},m\in \mathbb{Z}\\ \frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}\ne m\frac{\pi }{3},m\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}k\ne \frac{5m-1}{2},m\in \mathbb{Z}\\ k\ne \frac{10m-3}{6},m\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$

với $k\ne \frac{5m-1}{2}$ và $k\ne \frac{10m-3}{6}$  $m\in \mathbb{Z}$.

Chú ý:

Một cách loại nghiệm khác như sau:

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

$\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{10}+\left(2+5m\right).\frac{\pi }{5}\\ =\frac{\pi }{10}+\frac{2\pi }{5}+m\pi \\ =\frac{\pi }{2}+m\pi \end{array}$

nên k = 2 + 5m không thỏa mãn điều kiện xác đị

Bài 1.18 trang 24 SBT Đại số và giải tích 11: Nghiệm của phương trình $\sin 5x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ là

A. $\frac{2\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ và $\frac{4\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ $(k\in \mathbb{Z})$

B. $\frac{2\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ và $\frac{\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ $(k\in \mathbb{Z})$

C. $\frac{\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ và $\frac{2\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ $(k\in \mathbb{Z})$

D. $\frac{\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ và $\frac{4\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ $(k\in \mathbb{Z})$.

Phương pháp giải:

Ta có phương trình: $\sin x=a$

Có $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =a$ hay viết là $\alpha =\arcsin a$

Khi đó phương trình có nghiệm là:

$x=\alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=\pi -\alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lời giải:

Ta có: $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$

Khi đó: $\sin 5x=\sin \frac{\pi }{3}$

$\iff [\begin{array}{l}5x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 5x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{2\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$\frac{\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ và $\frac{2\pi }{15}+k\frac{2\pi }{5}$ $(k\in \mathbb{Z})$

Đáp án: C.

Bài 1.19 trang 24 SBT Đại số và giải tích 11: Nghiệm của phương trình $\cot (2x-{30}^o)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ là

A. ${30}^o+k{90}^o$ $(k\in \mathbb{Z})$

B. ${75}^o+k{90}^o$ $(k\in \mathbb{Z})$

C. ${45}^o+k{90}^o$ $(k\in \mathbb{Z})$

D. ${-75}^o+k{90}^o$ $(k\in \mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

Phương trình: $\cot x=a$ có ${\beta }^o$ thỏa mãn $\cot {\beta }^o=a$

hay viết là ${\beta }^o=\text{arccot}a=\arctan \frac{1}{a}$

Khi đó phương trình có nghiệm là $x={\beta }^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

Lời giải:

Ta có: $-\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot ({-60}^o)$

Khi đó: $\cot (2x-{30}^o)=\cot ({-60}^o)$

Phương trình có nghiệm là: $2x-{30}^o={-60}^o+k{180}^o,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x={-15}^o+k{90}^o,k\in \mathbb{Z}$

Hay $x={75}^o+k{90}^o,k\in \mathbb{Z}$

Đáp án: B.

Cách trắc nghiệm:

Xét từng phương án.

Với phương án A, khi k = 0 thì x = 30o.

Khi đó cot(2x – 30o) = cot30o = √3. Vậy phương án A bị loại.

Với phương án B thì cot(2x – 30o) = cot(120o – k180o) = (-√3)/3 đúng.

Bài 1.20 trang 24 SBT Đại số và giải tích 11: Nghiệm của phương trình $\tan x+\tan (x+\frac{\pi }{4})+2=0$ là

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ và $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ và $x=\frac{2\pi }{3}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

C. $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

D. $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình

Rút gọn phương trình sử dụng cộng thức $\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

Lời giải:

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \sin (x+\frac{\pi }{4})\ne 0\end{array}$

Phương trình: $\tan x+\tan (x+\frac{\pi }{4})+2=0$

$\iff \tan x+\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x\tan \frac{\pi }{4}}+2=0$

$\iff \tan x+\frac{\tan x+1}{1-\tan x}+2=0$

$\Rightarrow \tan x-{\tan }^{2}x+\tan x+1+2-2\tan x=0$

$\iff {\tan }^{2}x=3$

$\iff \tan x=\pm \sqrt{3}$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn)

Đáp án: D.

Cách trắc nghiệm:

Xét từng phương án.

Với x = π/6 thì tanπ/6 và tan(π/6 + π/4) đều dương, nên π/6 không là nghiệm của phương trình. Do đó hai phương án A và C bị loại.

Với phương án B, π/4 không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên bị loại.

Bài 1.21 trang 25 SBT Đại số và giải tích 11: Nghiệm của phương trình $\sin 3x\cos x-\sin 4x=0$ là

A. $k\pi$ và $\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$ $(k\in \mathbb{Z})$

B. $\frac{\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

C. $\frac{\pi }{3}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

D. $\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $\frac{\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

Lời giải:

Ta có: $\sin 3x\cos x$

$=\frac{1}{2}[\sin (3x+x)+\sin (3x-x)]$$=\frac{1}{2}\left(\sin 4x+\sin 2x\right)$

Phương trình: $\sin 3x\cos x-\sin 4x=0$

$\iff \frac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)-\sin 4x=0$

$\iff \frac{1}{2}(\sin 2x-\sin 4x)=0$

$\iff \sin 4x=\sin 2x$

$\iff [\begin{array}{l}4x=2x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 4x=\pi -2x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}2x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 6x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là 

$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$

Đáp án: A.

Cách trắc nghiệm:

Xét từng phương án..

Xét hai phương án B và C trước vì ít trường hợp.

Với x = π/4 thì sin4x = 0 còn sin3x.cosx > 0 nên phương án B và cả phương án D bị loại.

Với x = π/3 thì sin3x = 0, sin4x < 0 nên phương án C bị loại.

Bài 1.22 trang 25 SBT Đại số và giải tích 11: Nghiệm của phương trình $\cos 2x\cos 4x=1$ thuộc đoạn $\left[-\pi ;\pi \right]$ là

A. $-\frac{\pi }{2}$, $0$ và $\pi$

B. $0$, $\frac{\pi }{2}$ và $\pi$

C. $-\pi$, $0$ và $\pi$

D. $-\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$ và $\pi$.

Lời giải:

Ta có: $\cos 2x\cos 4x=1$

$\iff \frac{1}{2}[\cos (4x+2x)+\cos (4x-2x)]=1$

$\iff \frac{1}{2}(\cos 6x+\cos 2x)=1$

$\iff \cos 6x+\cos 2x=2$

Vì $-1\le \cos 6x\le 1$ và $-1\le \cos 2x\le 1$

$\Rightarrow -2\le \cos 6x+\cos 2x\le 2$

Nên phương trình xảy ra khi dấu “=” thứ hai trong bđt trên xảy ra

$\iff \{\begin{array}{l}\cos 6x=1\\ \cos 2x=1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}6x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 2x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\\ x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Với $k=-1$, $k=0$ và $k=1$ phương trình có 3 nghiệm $\pi$, $0$ và $\pi$ thuộc đoạn $[-\pi ;\pi ]$

Đáp án: C.

Cách trắc nghiệm:

Xét các phương án.

Với x = ±π/2 thì cos2x – 1 = 0, cos4x = 1 nên các giá trị ±π/2 không phải là nghiệm của phương trình. Do đó các phương án A, B, D đều bị loại. 

Bài 1.23 trang 25 SBT Đại số và giải tích 11: Nghiệm của phương trình $\tan x\cot 3x=-1$ thuộc đoạn $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ là

A. $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$ và $\frac{\pi }{3}$

B. $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{4}$ và $\pi$

C. $\frac{\pi }{6}$, $\frac{3\pi }{4}$ và $\frac{5\pi }{4}$

D. $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$ và $\frac{5\pi }{4}$.

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình

Sử dụng công thức $\cot x=\frac{1}{\tan x}$ để rút gọn phương trình.

Lời giải:

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin 3x\ne 0\end{array}$

Ta có: $\tan x\cot 3x=-1$

$\iff \tan x\frac{1}{\tan 3x}=-1$

$\iff \tan x=-\tan 3x=\tan (-3x)$

$\iff x=-3x+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff x=\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

Có bảy giá trị của $\frac{k\pi }{4}$ thuộc đoạn $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ là $0$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{4}$ và $\frac{3\pi }{2}$ứng với $k=0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ và $6$.

Trong đó có ba giá trị thỏa mãn ĐKXĐ $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ là $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$ và $\frac{5\pi }{4}$ ứng với $k=1$, $3$ và $5$

Đáp án: D.

Cách trắc nghiệm:

Xét các phương án.

Với x = π/6 thì cot3x = 0 nên π/6 không phải là nghiệm của phương trình.

Do đó hai phương án A và C bị loại. Phương án B cũng bị loại vì giá trị π/2 không thỏa mãn điều kiện của phương trình.

Bài 1.24 trang 25 SBT Đại số và giải tích 11: Nghiệm lớn nhất của phương trình $\sin 3x-\cos x=0$ thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ là

A. $\frac{3\pi }{2}$                B. $\frac{4\pi }{3}$

C. $\frac{5\pi }{4}$                D. $\pi$.

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng $\sin a=\sin b$

Phương trình có các nghiệm là:

$a=b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

và $a=\pi -b+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Lời giải:

Ta có: $\sin 3x-\cos x=0$

$\iff \sin 3x=\cos x$

$\iff \sin 3x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$

$\iff [\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{2}-x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 3x=\pi -(\frac{\pi }{2}-x)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Trong đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$, với $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$ ta có 4 giá trị là $-\frac{3\pi }{8}$, $\frac{\pi }{8}$, $\frac{5\pi }{8}$ và $\frac{9\pi }{8}$ ứng với các giá trị $k=-1$, $0$, $1$ và $2$ trong đó $\frac{9\pi }{8}$ là giá trị lớn nhất.

Với $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ ta có 2 giá trị là $\frac{\pi }{4}$ và$\frac{5\pi }{4}$ ứng với các giá trị $k=-1$, $0$ và $1$ trong đó $\frac{5\pi }{4}$ là giá trị lớn nhất.

Vì $\frac{5\pi }{4}>\frac{9\pi }{8}$ nên $\frac{5\pi }{4}$ là nghiệm lớn nhất của phương trình trong $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$

Đáp án: C.

Cách trắc nghiệm:

Ta xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.

Với giá trị lớn nhất 4π/3 trong phương án B, ta thấy sin3x = 0 nhưng cosx ≠ 0 nên phương án B bị loại.

Với giá trị x = 5π/3 trong phương án C thì sin3x = (-√2)/2, cos5π/3 = (-√2)/2 nên 5π/4 là nghiệm của phương trình.