SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác | Giải SBT Toán lớp 11

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Hàm lượng giác

Bài 1.1 trang 12 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm tập xác định của các hàm số

a) $y=\cos \frac{2x}{x-1}$

b) $y=\tan \frac{x}{3}$

c) $y=\cot 2x$

d) $y=\sin \frac{1}{x^2-1}$

Phương pháp giải:

a) Phân thức $\frac{f(x)}{g(x)}$ xác định khi $g(x)\ne 0$

b)

Hàm số $y=\tan \frac{x}{3}=\frac{\sin \frac{x}{3}}{\cos \frac{x}{3}}$ xác định khi $\cos \frac{x}{3}\ne 0$

c)

Hàm số $y=\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}$ xác định khi $\sin 2x\ne 0$

d)

Phân thức $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ xác định khi $g(x)\ne 0$

Lời giải:

Điều kiện xác định: $x-1\ne 0\iff x\ne 1$

Vậy $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

b)

Điều kiện xác định: $\cos \frac{x}{3}\ne 0\iff \frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ $\iff x\ne \frac{3\pi }{2}+k3\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{3\pi }{2}+k3\pi \right\}$.

c)

Điều kiện xác định: $\sin 2x\ne 0\iff 2x\ne k\pi$ $\iff x\ne k\frac{\pi }{2},k\in Z$

Vậy $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\frac{\pi }{2}\right\}$.

d)

Điều kiện xác định: $x^2-1\ne 0\iff x\ne \pm 1$

Vậy $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1;1\right\}$.

Bài 1.2 trang 12 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm tập xác định của các hàm số

a) $y=\sqrt{\cos x+1}$

b) $y=\frac{3}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}$

c) $y=\frac{2}{\cos x-\cos 3x}$ $$

d) $y=\tan x+\cot x$

Phương pháp giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ là $f(x)\ge 0$

b)

Điều kiện xác định của hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là $g(x)\ne 0$

c)

Điều kiện xác định của hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là $g(x)\ne 0$

d)

Điều kiện xác định của hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ là $\cos x\ne 0$

Điều kiện xác định của hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ là $\sin x\ne 0$

Lời giải:

Điều kiện xác định: $\cos x+1\ge 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}-1\le \cos x\le 1\\ \Rightarrow -1+1\le \cos x+1\le 1+1\\ \Rightarrow 0\le \cos x+1\le 2\\ \Rightarrow \cos x+1\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy $\mathrm{D}=\mathbb{R}$.

  b)

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\ne 0\\ \iff {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\ne 0\\ \iff \cos 2x\ne 0\\ \iff 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy $\mathrm{D}=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c)

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}\cos x-\cos 3x\ne 0\\ \iff -2\sin 2x\sin x\ne 0\\ \iff \{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\\ \iff \sin 2x\ne 0\end{array}$

(Vì $\sin 2x\ne 0$ suy ra $\sin x\ne 0$)

$\iff 2x\ne k\pi$

$\begin{array}{l}\iff x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Chú ý:

Các em cũng có thể biến đổi như sau:

$\begin{array}{l}-2\sin 2x\sin x\ne 0\\ \iff -2.2\sin x\cos x.\sin x\ne 0\\ \iff -4{\sin }^{2}x\cos x\ne 0\\ \iff \{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\\ \iff x\ne \frac{k\pi }{2},k\in Z\end{array}$

 d)

Điều kiện xác định:

$\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$$\iff \sin x\cos x\ne 0\iff 2\sin x\cos x\ne 0$$\iff \sin 2x\ne 0$$\iff 2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$

Vậy tập xác định là:$D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Bài 1.3 trang 12 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

a) $y=3-2\left|\sin x\right|$

b) $y=\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$

c) $y={\cos }^{2}x+2\cos 2x$

d) $y=\sqrt{5-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$

Phương pháp giải:

a) Hàm số $y=\sin x$ có $-1\le \sin x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff 0\le \left|\sin x\right|\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

b)

Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.

Sử dụng lý thuyết $-1\le \cos x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ để đánh giá biểu thức ở trên.

c)

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Sử dụng lý thuyết $-1\le \cos x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ để đánh giá biểu thức ở trên.

d)

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Hàm số $y=\sin x$ có $-1\le \sin x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l}\iff 0\le \left|\sin x\right|\le 1\\ \iff 0\le {\sin }^{2}x\le 1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}0\le \left|\sin x\right|\le 1\iff -2\le -2\left|\sin x\right|\le 0\\ \iff 3-2\le 3-2\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\right|\le 3\\ \iff 1\le 3-2\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\right|\le 3\end{array}$

Vậy GTLN của hàm số $y=3-2\left|\sin x\right|$ là 3 đạt được khi

$\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

GTNN của hàm số $y=3-2\left|\sin x\right|$  là 1 đạt được khi 

$\sin x=\pm 1\iff x=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 b)

Ta có: $\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$

$\begin{array}{l}=2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\cos \frac{\pi }{6}\\ =\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\end{array}$

Do $-1\le \cos (x-\frac{\pi }{6})\le 1$

$\iff -\sqrt{3}\le \sqrt{3}\cos (x-\frac{\pi }{6})\le \sqrt{3}$

Vậy hàm số  $y=\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ có GTLN là $\sqrt{3}$ đạt được khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=1$

$\begin{array}{l}\iff x-\frac{\pi }{6}=k2\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

GTNN là$-\sqrt{3}$ đạt được khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$

$\begin{array}{l}\iff x-\frac{\pi }{6}=\pi +k2\pi \\ \iff x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

c)

Ta có:

${\cos }^{2}x+2\cos 2x$

$\begin{array}{l}=\frac{1+\cos 2x}{2}+2\cos 2x\\ =\frac{1+5\cos 2x}{2}\end{array}$

Do $-1\le \cos 2x\le 1$

$\begin{array}{l}\iff -5\le 5\cos 2x\le 5\\ \iff 1-5\le 1+5\cos 2x\le 1+5\\ \iff \frac{1-5}{2}\le \frac{1+5\cos 2x}{2}\le \frac{1+5}{2}\\ \iff -2\le \frac{1+5\cos 2x}{2}\le 3\end{array}$

Vậy hàm số  $y={\cos }^{2}x+2\cos 2x$ có GTLN là $3$

đạt được khi $\cos 2x=1\iff 2x=k2\pi$

$\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

GTNN là $-2$  đạt được khi $\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +k2\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 d)

Ta có: $5-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x=5-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

Do $0\le {\sin }^{2}2x\le 1$

 $\begin{array}{l}\iff -1\le -{\sin }^{2}2x\le 0\\ \iff -\frac{1}{2}\le -\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x\le 0\\ \iff 5-\frac{1}{2}\le 5-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x\le 5\\ \iff \frac{9}{2}\le 5-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x\le 5\\ \iff \frac{3\sqrt{2}}{2}\le \sqrt{5-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x}\le \sqrt{5}\end{array}$

Vậy hàm số  $y=\sqrt{5-2{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$ có GTLN là $\sqrt{5}$  đạt được khi $-{\sin }^{2}2x=0\iff \sin 2x=0$

 $\begin{array}{l}\iff 2x=k\pi \\ \iff x=k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$

GTNN là $\frac{3\sqrt{2}}{2}$  đạt được khi $-{\sin }^{2}2x=-1\iff \sin 2x=\pm 1$

$\iff 2x=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Bài 1.4 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Với những giá trị nào của $x$, ta có mỗi đẳng thức sau ?

 a) $\frac{1}{\tan x}=\cot x$

b) $\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}={\cos }^{2}x$

c) $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\cot }^{2}x$

d) $\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x}$

Phương pháp giải:

 Biến đổi $VT=VP$, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.

Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.

Lời giải:

a)

$VT=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}$  $=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x=VP$ 

Do đó $VT=VP$  nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$

$\iff \sin 2x\ne 0$

$\iff x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

 b)

Ta có :

$VP=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1}{1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$

$=\frac{1}{\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$ $=\frac{1}{\frac{1}{{\cos }^{2}x}}={\cos }^{2}x=VP$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định

ĐKXĐ: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

 c)

Ta có :

$VP=1+{\cot }^{2}x=1+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$

$=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}=VT$  

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định.

ĐKXĐ: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d)

Ta có: $VT=\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$ $=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$

$VP=\frac{2}{\sin 2x}=\frac{2}{2\sin x\cos x}$ $=\frac{1}{\sin x\cos x}$

Do đó $VT=VP$ nếu hai vế xác định.

$VT$ xác định khi $\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\iff \sin 2x\ne 0$ $\iff 2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$

$VP$ xác định khi $\sin 2x\ne 0\iff x\ne \frac{k\pi }{2}$.

Vậy đẳng thức xảy ra khi $x\ne \frac{k\pi }{2}$.

Bài 1.5 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số

a) $y=\frac{\cos 2x}{x}$

b) $y=x-\sin x$

c) $y=\sqrt{1-\cos x}$

d) $y=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-2x\right)$

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f(x)$ với tập xác định $D$ gọi là hàm số chẵn nếu

$x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=f(x)$

Hàm số $y=f(x)$ với tập xác định $D$ gọi là hàm số lẻ nếu

$x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=-f(x)$

Bước 1: tìm TXĐ $D$, chứng minh $D$  là tập đối xứng

Bước 2: lấy $x\in D\Rightarrow -x\in D$

Bước 3: xét $f\left(-x\right)$

Nếu $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ hàm số chẵn

Nếu $f(-x)=-f(x)$ hàm số lẻ.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$ là tập đối xứng

$f(-x)=\frac{\cos (2(-x))}{-x}=\frac{\cos (-2x)}{-x}$ $=\frac{\cos 2x}{-x}=-f(x)$

Vậy $y=\frac{\cos 2x}{x}$ là hàm số lẻ.

 b)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng

$f(-x)=(-x)-\sin (-x)=-x-(-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})=-x+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}$$=-(x-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})=-f(x)$

Vậy $y=x-\sin x$ là hàm số lẻ.

c)

Do $-1\le \cos x\le 1\Rightarrow 0\le 1-\cos x\le 2$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng

$\begin{array}{l}f(-x)=\sqrt{1-\cos (-x)}\\ =\sqrt{1-\cos x}=f(x)\end{array}$

Vậy $y=\sqrt{1-\cos x}$ là hàm số chẵn.

 d)

$y=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-2x\right)$ $=1+\cos x\sin (-\frac{\pi }{2}+2x)$$=1-\cos x\sin (\frac{\pi }{2}-2x)$$=1-\cos x\cos 2x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng

$\begin{array}{l}f(-x)=1-\cos (-x)\cos (2(-x))\\ =1-\cos x\cos 2x=f(x)\end{array}$

Vậy $y=1+\cos x\sin \left(\frac{3\pi }{2}-2x\right)$ là hàm số chẵn.

Bài 1.6 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: a) Chứng minh rằng $\cos 2\left(x+k\pi \right)=\cos 2x,k\in Z$. Từ đó vẽ đồ thị hàm số $y=\cos 2x$

b) Từ đồ thị hàm số $y=\cos 2x$ , hãy vẽ đồ thị hàm số $y=\left|\cos 2x\right|$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức $\cos (\alpha +k2\pi )=\cos \alpha$

b)

Cách dựng đồ thị hàm số $y=\left|f(x)\right|$ từ đồ thị hàm số $y=f(x)$:

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=f(x)$

+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục $Ox$ của đồ thị $y=f(x)$ qua $Ox$

+ Xóa phần đồ thị phía dưới trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=f(x)$.

Lời giải:

a)

$\cos 2(x+k\pi )=\cos (2x+k2\pi )$ $=\cos 2x,k\in Z$

Vậy hàm số $y=\cos 2x$ là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kỳ $\pi$.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(0;1\right),\left(-\frac{\pi }{4};0\right),$ $\left(\frac{\pi }{4};0\right),\left(-\frac{\pi }{2};-1\right),\left(\frac{\pi }{2};1\right)$

 b)

Đồ thị hàm số $y=\left|\cos 2x\right|$ gồm:

+ Phần đồ thị phía trên trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=\cos 2x$

+ Phần đồ thị có được từ việc lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục $Ox$ của đồ thị hàm số $y=\cos 2x$.

Đồ thị hàm số $y=\left|\cos 2x\right|$ là:

Bài 1.7 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1+2\cos x}$ là

A. $\left[-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;\frac{2\pi }{3}+k2\pi \right]$

B. $\left[-\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{\pi }{3}+k2\pi \right]$

C. $\left[-\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;\frac{5\pi }{6}+k2\pi \right]$

D. $\left[-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;\frac{\pi }{4}+k2\pi \right]$

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của hàm số  là .

Lời giải:

ĐKXĐ: $1+2\cos x\ge 0$ $\iff \cos x\ge -\frac{1}{2}$ $\iff -\frac{2\pi }{3}+k2\pi \le x\le \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Đáp án: A

Bài 1.8 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số $y=\frac{1-\sin x}{2\cot x}$ là  

A. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$

B. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\frac{\pi }{2}\right\}$

C. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\pi \right\}$

D. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k2\pi \right\}$

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là $g(x)\ne 0$

Lời giải:

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}$

$\iff \sin x\cos x\ne 0\iff 2\sin x\cos x\ne 0$

$\iff \sin 2x\ne 0$

$\iff x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Vậy $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$

Đáp án :B

Cách khác:

Hàm số không xác định khi cotx = 0 hoặc khi cotx không xác định

Tức là khi x = kπ hoặc x = π/2 + kπ, k ∈ Z.

Gộp hai giá trị này lại ta được kết quả x = kπ/2, k ∈ Z.

Vậy tập xác định là R \ {π/2+kπ,k ∈ Z }

Bài 1.9 trang 13 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số $y=\frac{1+\tan x}{\sqrt{1-\sin x}}$ là

A. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}$

B. $\left[k2\pi ;\pi +k2\pi \right]$

C. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$

D. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left[\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{5\pi }{6}+k2\pi \right]$

Phương pháp giải:

Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ xác định khi $g(x)\ne 0$.

Hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ xác định khi $f(x)\ge 0$.

Lời giải:

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ 1-\sin x>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ 1-\sin x\ne 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}$

$\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$

Vậy $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hay $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Đáp án: C.

Cách khác:

Hàm số không xác định khi tanx không xác định hoặc sinx = 1

Tức là khi x = π/2+kπ, hoặc x = π/2+k2π, k ∈ Z.

Gộp hai giá trị này lại ta được kết quả x = π/2+kπ, k ∈ Z.

Vậy tập xác định là R \ {π/2+kπ,k ∈ Z}.

Bài 1.10 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Tập xác định của hàm số $y=\frac{\sqrt{1-2\cos x}}{\sqrt{3}-\tan x}$ là

A. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$

B. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left(-\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)$

C. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi \right\}\cup \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}\right\}$

D. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\left(-\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{\pi }{3}+k2\pi \right]\cup \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\right\}$

Phương pháp giải:

Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ xác định khi $g(x)\ne 0$.

Hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ xác định khi $f(x)\ge 0$.

Lời giải:

Hàm số $y=\frac{\sqrt{1-2\cos x}}{\sqrt{3}-\tan x}$ không xác định khi

$\{\begin{array}{l}1-2\cos x<0\\ \tan x=\sqrt{3}\\ \cos x=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}-\frac{\pi }{3}+k2\pi <x<\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Vậy tập xác định là $$ $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{\left(-\frac{\pi }{3}+k2\pi ;\frac{\pi }{3}+k2\pi \right]\cup \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\right\}$

Đáp án: D.

Cách trắc nghiệm.

Xét các phương án

Với x = π/3 thì tan x = √3 nên hàm số không xác định, do đó các phương án A và B bị loại.

Với x=0 thì $1-2\cos 0=-1<0$ nên hàm số không xác định, mà x=0 lại thuộc tập hợp đáp án C nên loại C.

Bài 1.11 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1-\cos x-\sin x$ là

A. $-\frac{1}{2}$                          B. $-1$

C. $1-\sqrt{2}$                   D. $-\sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.

Hàm số $y=\cos x$ có $\cos x\le 1$

Lời giải:

Ta có:

$y=1-\cos x-\sin x$

$=1-(\cos x+\sin x)$

$=1-[\cos x+\cos (\frac{\pi }{2}-x)]$

$=1-2\cos \frac{\pi }{4}\cos (x-\frac{\pi }{4})$

$=1-2.\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

$=1-\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{4})$

Mà $\cos (x-\frac{\pi }{4})\le 1$

$\begin{array}{l}\Rightarrow -\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ge -\sqrt{2}\\ \Rightarrow 1-\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ge 1-\sqrt{2}\end{array}$

$\iff y\ge 1-\sqrt{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ là $1-\sqrt{2}$ đạt được khi $x=\frac{\pi }{4}$.

Đáp án C.

Chú ý:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.

Mà (cosx + sinx)2 = 1 + sin2x ≤ 2.

Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)2 bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.

Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.

Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.

Bài 1.12 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=2+\left|\cos x\right|+\left|\sin x\right|$ là

A. $2$                           B. $2+\sqrt{2}$

C. $\frac{3}{2}$                          D. $3-\sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Hàm số $y=2+\left|\cos x\right|+\left|\sin x\right|$ đạt giá trị lớn nhất khi $\left|\cos x\right|+\left|\sin x\right|$ đạt giá trị lớn nhất.

Sử dụng $\left|\sin 2x\right|\le 1$.

Lời giải:

$\begin{array}{l}{\left(\left|\cos x\right|+\left|\sin x\right|\right)}^2\\ ={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x+2\left|\cos x\sin x\right|\\ =1+\left|\sin 2x\right|\le 2\\ \iff \left|\cos x\right|+\left|\sin x\right|\le \sqrt{2}\\ \iff 2+\left|\cos x\right|+\left|\sin x\right|\le 2+\sqrt{2}\end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là $2+\sqrt{2}$ đạt được khi $\sin 2x=1$.

Đáp án B.

Cách trắc nghiệm:

Với x = 0 ta thấy y = 3 đều lớn hơn các giá trị trong các phương án A, C, D nên các phương án này bị loại.

Bài 1.13 trang 14 SBT Đại số và giải tích 11: Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y={\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x$ tương ứng là

A. $\frac{1}{4}$ và $1$                     B. $\frac{3}{5}$ và $\frac{3}{4}$  

C. $\frac{1}{2}$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$                D. $\frac{2}{3}$ và $\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Phương pháp giải:

Biến đổi ${\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x$ về dạng biểu thức chỉ chứa $\sin f(x)$ hoặc $\cos f(x)$.

Ta có $\left|\sin f(x)\right|\le 1$ và $\left|\cos f(x)\right|\le 1$ từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải:

${\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x=$

$({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)({\cos }^{4}x-{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x)$

$=({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x{)}^2-3{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x$

$=1-3(\frac{\sin 2x}{2}{)}^2=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x$

$\begin{array}{l}=1-\frac{3}{4}\left(1-{\cos }^{2}2x\right)\\ =1-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}{\cos }^{2}2x\end{array}$

$=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\cos }^{2}2x$

Mà $0\le {\cos }^{2}2x\le 1$

$\Rightarrow 0\le \frac{3}{4}{\cos }^{2}2x\le \frac{3}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{4}\le \frac{1}{4}+\frac{3}{4}{\cos }^{2}2x\le 1$

$\Rightarrow \frac{1}{4}\le y\le 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ là $\frac{1}{4}$ đạt được khi $\cos 2x=0$,

Giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là $1$ đạt được khi $\cos 2x=1$.

Đáp án A.

Cách trắc nghiệm:

Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.