Phương pháp giải về Phép đếm, cấp số cộng và cấp số nhân 2023 (lý thuyết và bài tập)

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Phép đếm, cấp số cộng và cấp số nhân có đáp án gồm các nội dung sau:

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I. PHÉP ĐẾM

1. Quy tắc cộng

Quy tắc:

Có $k$ phương án $A_1,A_2,A_3,...,A_k$ để thực hiện công việc. Trong đó:

– Có $n_1$ cách thực hiện phương án $A_1$,

– Có $n_2$ cách thực hiện phương án $A_2$

…

– Có $n_k$ cách thực hiện phương án $A_k$.

Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: $n_1+n_2+...+n_k$ cách.

2. Quy tắc nhân

Có $k$ công đoạn $A_1,A_2,...,A_k$ để thực hiện công việc.

– Có $n_1$ cách thực hiện công đoạn $A_1$.

– Có $n_2$ cách thực hiện công đoạn $A_2$.

…

– Có $n_k$ cách thực hiện công đoạn $A_k$.

Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: $n_1.n_2.....n_k$ cách.

3. Hoán vị

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n\ge 1$). Mỗi cách sắp thứ tự của $n$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của $n$ phần tử khác nhau đã cho ($n\ge 1$) được kí hiệu là $P_n$ và bằng:

$P_n=n(n-1)(n-2)...2.1=n!$

4. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left(n\ge 1\right)$.

Kết quả của việc lấy $k$ phần tử khác nhau từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $A_n^k$ và bằng

$A_n^k=n(n–1)\dots (n–k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ $(1\le k\le n)$

Với quy ước $0!=1$.

5. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n\ge 1$). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $n$ phần tử đã cho ($0\le k\le n$) được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập $0$ của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

 

Định lí

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $C_n^k$ và bằng

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ = $\frac{A_n^k}{k!}$, ($0\le k\le n$)

II. CẤP SỐ CỘNG

1. Định nghĩa

Dãy số $u_n$ là một cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+d$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $d$ là hằng số.

$d=u_{n+1}-u_n$ được gọi là công sai.

* $d=0$: CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số $3;6;9;12;15$ là một cấp số cộng vì:

$\begin{array}{l}6=3+3\\ 9=6+3\\ 12=9+3\\ 15=12+3\end{array}$

Đây là CSC có công sai $d=3$ và số hạng đầu $u_1=3$.

2. Số hạng tổng quát

Kí hiệu: $u_n=u_1+(n–1)d,(n\ge 2)$. ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)

Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: $d=\frac{u_n-u_1}{n-1}$.

Ví dụ:

Cho CSC $\left(u_n\right)$ biết $u_1=-1,d=3$. Tìm $u_{20}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_{20}=u_1+\left(20-1\right)d\\ =u_1+19d\\ =-1+19.3\\ =56\end{array}$

3. Tính chất

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với $k\ge 2$ hay $u_{k+1}+u_{k-1}=2u_k$

Ví dụ:

Cho ba số $3;x;9$ theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm $x.$

Ta có: $x=\frac{3+9}{2}=6$.

Vậy $x=6$.

4. Tổng n số hạng đầu

+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng:  $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

$S_n=n{u}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d$

$S_n=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$

III. CẤP SỐ NHÂN

1. Định nghĩa

$u_n$ là cấp số nhân $\iff u_{n+1}=u_n.q$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_1=5,q=3$. Tính $u_2$.

Ta có: $u_2=q{u}_1=3.5=15$.

2. Số hạng tổng quát

$u_n=u_1.q^{n-1},(n\ge 2)$

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_1=5,q=3$. Tính $u_5$.

Ta có:

$u_5=u_1{q}^4={5.3}^4=405$.

3. Tính chất

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ hay $|u_k|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}},$ với $k\ge 2$ 

Ví dụ:

Cho bốn số $x;5;25;y$ theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm $x,y$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{5}^2=x.25\iff x=1\\ {25}^2=5y\iff y=125\end{array}$

Vậy $x=1,y=125$.

4. Tổng n số hạng đầu 

$S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}$ $=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$, $(q\ne 1)$.

B. BÀI TẬP

Câu 1: Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ

a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh trong tổ thành một hàng dọc?

A. 4!.5!         B. 4!+5!

C. 9!             D. A₄⁹.A₅⁹

b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh trong tổ thành hàng dọc sao cho học sinh nam và nữ đúng xen kẽ nhau?

A. 4!.5!       B. 4!+5!

C. 9!             D. A₄⁹.A₅⁹

Câu 2:

a) Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

A. 4!             B. A₉⁴

C. 9A₉³       D. C₉⁴

b) Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

A. 4!             B. 9A₉³

C. 9C₉³       D. Một đáp án khác

Câu 3: Trong mặt phẳng có 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

a) Số tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp các điểm đã cho là:

A. A₁₈³       B. C₁₈³

C. 6             D. 18!/3

b) Số vecto có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập điểm đã cho là:

A. A₁₈²       B. C₁₈²

C. 6       D. 18!/2

Câu 4: Có 5 bì thư khác nhau và có 8 con tem khác nhau. Chọn từ đó ra 3 bì thư và 3 con tem sau đó dán 3 con tem lên 3 bì thư đã chọn. Biết rằng một bì thư chỉ dán 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán?

A. A₅³.A₈³       B. 3!A₅³ A₈³

C. C₅³.C₈³       D. 3!C₅³.C₈³

Câu 5: Giải phương trình A_x³+C_x^x-3=14x (x là ẩn số)

A. x= 5 và x= -2       B. x = 5

C. x= -2             D. vô nghiệm

Câu 6: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa: 

a. Xác định công thức tổng quát của cấp số

A. u_n = 3n – 2

B. u_n = 3n – 4

C. u_n = 3n – 3

D. u_n = 3n – 1

b. Tính S = u₁ + u₄ + u₇ +…+ u₂₀₁₁.

A. S = 673015

B. S = 67334134

C. S = 673044

D. S = 141

Câu 7: Cho hai cấp số cộng (u_n): 4, 7, 10, 13, 16, …và (v_n):1, 6, 11, 16, 21, …Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung?

A.10

B. 20

C. 30

D. 40

Câu 8: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: .

a. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

A. – 243

B. – 295

C. – 231

D. – 294

b. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

A. – 244

B. – 274

C. – 253

D. – 285

Câu 9: Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng -9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. Tìm số hạng đầu tiên

A. -3 hoặc – 6

B. – 4 hoặc -2

C. -1 hoặc -5

D. -4 hoặc – 7

Câu 10: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có góc nhỏ nhất bằng 25°. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65° ; 90°.

B. 75° ; 80°.

C. 60° ; 95°.

D. 55°; 100°.

Câu 11: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Dãy số 1; -2; 4; -8; 16; -32; 64 là một cấp số nhân.

B. Dãy số 7; 0; 0; 0;… là một cấp số nhân.

C. Dãy số (u_n):u_n = n.6^{n + 1} là một cấp số nhân.

D. Dãy số (v_n):v_n = (-1)ⁿ.3²ⁿ là một cấp số nhân.

Câu 12: Dãy số (u_n) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết rằng u_n = 4.3ⁿ

A. q = 3

B. q = 2

C. q = 4

D. q = ∅

Câu 13: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3; q = -2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của (u_n) ?

A. Số hạng thứ 5.

B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7.

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Câu 14: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số 2/6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

A. 11

B. 12

C. 6

D. 9

Câu 15: Xác định x để 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân:

Xem thêm