Phương pháp giải về Nhị thức Newton 2023 (lý thuyết va bài tập)

Tài liệu Lý thuyết, bài tập về Nhị thức Newton gồm các nội dung sau:

 

A. LÝ THUYẾT VỀ NHỊ THỨC NEWTON

I. Công thức nhị thức Niu – Tơn

1. Công thức nhị thức Niu – Tơn

Với $a,b$ là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên $n\ge 1$, ta có:

$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+$

$C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n(1)$

Ví dụ:

Viết khai triển ${\left(a+b\right)}^5$.

Hướng dẫn:

Ta có:

${\left(a+b\right)}^5$

$=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2$ $+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2$ $+10a^2{b}^3+5a{b}^5+b^5$

2. Quy ước

Với $a$ là số thực khác $0$ và $n$ là số tự nhiên khác $0$, ta quy ước:

                $a^0=1$; $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện $a$ và $b$ đều khác $0$, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=\sum _{k=0}^n{a}^k{b}^{n-k}$

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

– Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng $1$.

– Xét hai số ở cột $k$ và cột $k+1$, đồng thời cùng thuộc dòng $n$, ($k\ge 0;n\ge 1$), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột $k+1$ và dòng $n+1$.

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng $n$ và cột $k$ là $C_n^k$

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

 

$C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

c) Các số ở dòng $n$ là các hệ số trong khai triển của nhị thức ${(a+b)}^n$ (theo công thức nhị thức Niu – Tơn), với $a,b$ là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng $4$ là các hệ số trong khai triển của $(a+b{)}^4$ (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:

${\left(a+b\right)}^4$$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

B.  BÀI TẬP

Câu 1: Khai triển biểu thức (x-m²)4 thành tổng các đơn thức:

A. x⁴ –x³m+x²m² + m⁴

B. x⁴ –x³m²+x²m⁴ –xm⁶+ m⁸

C. x⁴ –4x³m+6x²m² -4xm+ m⁴

D. x⁴ –4x³m²+6x²m⁴ – 4xm⁶+ m⁸

Câu 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 

A. 2268       B. -2268

C. 84       D. -27

Câu 3: Xác định hệ số của số hạng chứa x³ trong khai triển (x²-2/x)ⁿ nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 49.

A. 160       B. -160

C. 160x³       D. -160x³

Câu 4: Tính tổng S = 3²⁰¹⁵.C₂₀₁₅^o-3²⁰¹⁴C₂₀₁₅¹+3²⁰¹³C₂₀₁₅²-…+3C₂₀₁₅²⁰¹⁴ -C₂₀₁₅²⁰¹⁵

A. 22015       B. -22015

C. 32015       D. 42015

Câu 5: Trong khai triển nhị thức (a + 2)^{n + 6}, (n ∈ N). Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

A. 17

B. 11

C. 10

D. 12

Câu 6: Tìm hệ số của x¹² trong khai triển (2x – x²)¹⁰

Câu 7: Tì số hạng chứa x³ trong khai triển 

Câu 8: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x³ + xy)²¹

Câu 9: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰

A. 80

B. 3240

C. 3320

D. 259200

Câu 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển : P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)² + … + 8(1 + x)⁸.

A. 630

B. 635

C. 636

D.637

Câu 11: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn .

A.n = 8

B.n = 9

C.n = 10

D. n = 11

Câu 12: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn .

A.n = 5

B.n = 9

C.n = 10

D.n = 4

Câu 13: Tìm số nguyên dương n sao cho: 

A. 5

B. 11

C. 12

D. 4

Câu 14: Tính 

Xem thêm